如图.一次函数y=k1x+5(k1＜0)的图象与坐标轴交于A.B两点.与反比例函数y=$\frac{{k} {2}}{x}$(k2＞0)的图象交于M.N两点.过点M作MC⊥y轴于点C.已知CM=1．(1)求k2-k1的值,(2)若$\frac{AM}{AN}$=$\frac{1}{4}$.求反比例函数的解析式,的条件下.设点P是x轴上一点.将线段CP绕点P按顺时针或逆� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

14．

如图，一次函数y=k₁x+5（k₁＜0）的图象与坐标轴交于A，B两点，与反比例函数y=$\frac{{k}_{2}}{x}$（k₂＞0）的图象交于M，N两点，过点M作MC⊥y轴于点C，已知CM=1．
（1）求k₂-k₁的值；
（2）若$\frac{AM}{AN}$=$\frac{1}{4}$，求反比例函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，设点P是x轴（除原点O外）上一点，将线段CP绕点P按顺时针或逆时针旋转90°得到线段PQ，当点P滑动时，点Q能否在反比例函数的图象上？如果能，求出所有的点Q的坐标；如果不能，请说明理由．

分析（1）根据点M的坐标代入反比例关系：y=$\frac{{k}_{2}}{x}$中，可得结论；
（2）根据△ACM∽△ADN，得$\frac{AM}{AN}=\frac{CM}{DN}=\frac{1}{4}$，由CM=1得DN=4，同理得N的坐标，代入反比例函数式中可得k₂的值；
（3）如图2，点P在x轴的正半轴上时，绕P顺时针旋转到点Q，根据△COP≌△PHQ，得CO=PH，OP=QH，设P（x，0），表示Q（x+4，x），代入反比例函数的关系式中可得Q的两个坐标；
如图3，点P在x轴的负半轴上时；
如图4，点P在x轴的正半轴上时，绕P逆时针旋转到点Q，同理可得结论．

解答解：（1）如图1，∵MC⊥y轴于点C，且CM=1，
∴M的横坐标为1，
当x=1时，y=k₁+5，
∴M（1，k₁+5），
∵M在反比例函数的图象上，
∴1×（k₁+5）=k₂，
∴k₂-k₁=5；
（2）如图1，过N作ND⊥y轴于D，
∴CM∥DN，
∴△ACM∽△ADN，
∴$\frac{AM}{AN}=\frac{CM}{DN}=\frac{1}{4}$，
∵CM=1，
∴DN=4，
当x=4时，y=4k₁+5，
∴N（4，4k₁+5），
∴4（4k₁+5）=k₂①，
由（1）得：k₂-k₁=5，
∴k₁=k₂-5②，
把②代入①得：4（4k₂-20+5）=k₂，
k₂=4；
∴反比例函数的解析式：y=$\frac{4}{x}$；
（3）当点P滑动时，点Q能在反比例函数的图象上；
如图2，CP=PQ，∠CPQ=90°，
过Q作QH⊥x轴于H，
易得：△COP≌△PHQ，
∴CO=PH，OP=QH，
由（2）知：反比例函数的解析式：y=$\frac{4}{x}$；
当x=1时，y=4，
∴M（1，4），
∴OC=PH=4，
设P（x，0），
∴Q（x+4，x），
当点Q落在反比例函数的图象上时，
x（x+4）=4，
x²+4x+4=8，
x=-2±$2\sqrt{2}$，
当x=-2+2$\sqrt{2}$时，x+4=2+2$\sqrt{2}$，如图2，Q（2+2$\sqrt{2}$，-2+2$\sqrt{2}$）；
当x=-2-2$\sqrt{2}$时，x+4=2-2$\sqrt{2}$，如图3，Q（2-2$\sqrt{2}$，-2-2$\sqrt{2}$）；
如图4，CP=PQ，∠CPQ=90°，设P（x，0），
过P作GH∥y轴，过C作CG⊥GH，过Q作QH⊥GH，
易得：△CPG≌△PQH，
∴PG=QH=4，CG=PH=x，
∴Q（x-4，-x），
同理得：-x（x-4）=4，
解得：x₁=x₂=2，
∴Q（-2，-2），
综上所述，点Q的坐标为（2+2$\sqrt{2}$，-2+2$\sqrt{2}$）或（2-2$\sqrt{2}$，-2-2$\sqrt{2}$）或（-2，-2）．

点评本题是反比例函数与一次函数的综合题，考查了含字母系数的两函数关系式的有关问题，与三角形全等和相似相结合，列比例式或点的坐标在函数图象上列等式可解决问题，第三问有难度，画出图形是关键．

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