Question

【题目】M为双曲线y=上的一点，过点M作x轴、y轴的垂线，分别交直线y=﹣x+m于点D，C两点，若直线y=﹣x+m与y轴交于点A，与x轴相交于点B．

（1）求ADBC的值．

（2）若直线y=﹣x+m平移后与双曲线y=交于P、Q两点，且PQ=3，求平移后m的值．

（3）若点M在第一象限的双曲线上运动，试说明△MPQ的面积是否存在最大值？如果存在，求出最大面积和M的坐标；如果不存在，试说明理由．

Answer 1

【答案】（1）2 （2）m=± （3）不存在最大的h，即△MPQ的面积不存在最大值

【解析】

(1) 过C作CE⊥x轴于E，过D作DF⊥y轴于F，如图1,求得A（0，m）; B（m，0）.求得△ABO为等腰直角三角形推出△ADF和△BCE也是等腰直角三角形设M(a,b),则ab=,CE=b,DF=a解直角三角形即可得到结论;

(2) 将y=﹣x+m代入双曲线y=中，整理得：x2﹣mx+=0，根据根与系数的关系得到:m=± ;

(3)由上述结论知x1=y2 ， x2=y1 ，且AO=BO=y1+y2=x1+x2=m ①,由于x1+x2=m，x1x2=②,得到P,Q两点的坐标,得到PQ= ,根据S△MPQ= ,得到PQ为定值,于是得到PQ边上的高有最大值时,即存在面积的最大值,当M无限向x轴右侧运动时,(或向y轴的上方运动时)h的值无限增大,于是得到不存在最大的h,即△MPQ的面积不存在最大值.

（1）解：过C作CE⊥x轴于E，过D作DF⊥y轴于F，如图1，

当x=0时，y=m，

∴A（0，m）；

当y=0时，x=m，

∴B（m，0）．

∴△ABO为等腰直角三角形

∴∠OAB=∠OBA=45°

∴△ADF和△BCE也是等腰直角三角形

设M（a，b），则ab= ，CE=b，DF=a

∴AD= DF= a，BC= CE= b

∴ADBC= a b=2ab=2

（2）解：将y=﹣x+m代入双曲线y= 中，整理得：x2﹣mx+ =0，

设x1、x2是方程x2﹣mx+ =0的两个根（x1＜x2），

∴x1+x2=m，x1x2= ．

∵PQ=3 ，直线的解析式为y=﹣x+m，

∴x2﹣x1=3= = ，

解得：m=±

（3）解：由上述结论知x1=y2 ， x2=y1 ， 且AO=BO=y1+y2=x1+x2=m ①，

∵x1x2= ②，

∴P，Q两点的坐标可表示为P（x1 ， x2），Q（x2 ， x1），

∴PQ= （x2﹣x1），

∵（x2﹣x1）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=m2﹣4 ，

∴PQ= ，

∵S△MPQ= PQh，∵PQ为定值，

∴PQ边上的高有最大值时，即存在面积的最大值，

当直线y=﹣x+m无限向x轴右侧运动时，（或向y轴的上方运动时）h的值无限增大，

∴不存在最大的h，即△MPQ的面积不存在最大值．