Question

如图，点O是等边三角形△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=a，以OC为一边作等边△OCD，连接AD．
（1）当a=150°，证明：△AOD是直角三角形；
（2）当a为多少度时，△AOD是以DA、DO为腰的等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）通过等边三角形△ABC、△OCD的三条边相等、三个内角都是60°、全等三角形的判定定理SAS证得△BOC≌△ADC；然后根据全等三角形的对应角相等、图形中的角与角间的数量关系推知∠ADO=90°；
（2）利用（1）和已知条件及等腰三角形的性质即可求解．

解答：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠BCA=60°．
∵∠BCO+∠OCA=∠ACD+∠OCA，
∴∠BCO=∠ACD．
又∵△OCD是等边三角形，
∴OC=DC，∠ODC=60°，
在△BOC和△ADC中，
∵

BC=AC ∠BCO=∠ACD OC=DC

，
∴△BOC≌△ADC（SAS），
∴∠BOC=∠ADC=150°，
∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=90°，
∴△AOD是直角三角形；

（2）∵设∠CBO=∠CAD=a，∠ABO=b，∠BAO=c，∠CAO=d，
则a+b=60°，b+c=180°-110°=70°，c+d=60°，a+d=50°∠DAO=50°，
∴b-d=10°，
∴（60°-a）-d=10°，
∴a+d=50°，
即∠CAO=50°，
①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO，
∴190°-α=α-60°，
∴α=125°；
②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO，
∴α-60°=50°，
∴α=110°；
③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD，
∴190°-α=50°，
∴α=140°．
所以当α为110°、125°、140°时，三角形AOD是等腰三角形．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质．解答（2）题时，注意充分利用隐藏于题中的已知条件--周角是360°．