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    2．已知抛物线y=-$\frac{1}{3}$x2+$\frac{1}{3}x$+4交x轴于点A、B，交y轴于点C，连接AC、BC．
    （1）求交点A、B的坐标以及直线BC的解析式；
    （2）如图1，动点P从点B出发以每秒5个单位的速度向点O运动，过点P作y轴的平行线交线段BC于点M，交抛物线于点N，过点N作NC⊥BC交BC于点K，当△MNK与△MPB的面积比为1：2时，求动点P的运动时间t的值；
    （3）如图2，动点P 从点B出发以每秒5个单位的速度向点A运动，同时另一个动点Q从点A出发沿AC以相同速度向终点C运动，且P、Q同时停止，分别以PQ、BP为边在x轴上方作正方形PQEF和正方形BPGH（正方形顶点按顺时针顺序），当正方形PQEF和正方形BPGH重叠部分是一个轴对称图形时，请求出此时轴对称图形的面积．

    分析 （1）令y=0，解方程-$\frac{1}{3}$x2+$\frac{1}{3}x$+4=0即可求出A、B坐标，再利用待定系数法求出直线BC．
    （2）如图1中，设P（a，0），只要证明MN=PB，列出方程即可解决问题．
    （3）①如图2中，当轴对称图形为筝型时，列出方程求出运动时间即可，②如图3中，当轴对称图形是正方形时，列出方程求出时间即可．

    解答 解：（1）令y=0，则-$\frac{1}{3}$x2+$\frac{1}{3}x$+4=0，解得x=4或-3，
    ∴点A坐标（-3，0），点B坐标（4，0），
    设直线BC解析式为y=kx+b，把B（4，0）．C（0，4）代入
    得$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{4k+b+0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
    ∴直线BC解析式为y=-x+4．
    （2）如图1中，∵PN∥OC，NK⊥BC，
    ∴∠MPB=∠MKN=90°，
    ∵∠PMB=∠NMK，
    ∴△MNK∽△MPB，
    ∵△MNK与△MPB的面积比为1：2，
    ∴BM=$\sqrt{2}$MN，
    ∵OB=OC，
    ∴∠PBM=45°，
    ∴BM=$\sqrt{2}$PB，
    ∴MN=PB，设P（a，0），则MN=-$\frac{1}{3}$a2+$\frac{1}{3}$a+4+a-4=-$\frac{1}{3}$a2+$\frac{4}{3}$a，BP=4-a，
    ∴-$\frac{1}{3}$a2+$\frac{4}{3}$a=4-a，
    解得a=3或4（舍弃），
    ∴PB=1，t=$\frac{1}{5}$．
    （3）如图2中，当轴对称图形为筝型时，PF=PG，GM=FM，

    ∵BP=PG=AQ，PQ=PF，
    ∴AQ=PQ=5t，
    过点Q作QN⊥AP，则AN=NP，由△AQN∽△ACQ，
    ∴$\frac{AQ}{AC}$=$\frac{AN}{AO}$，
    ∴$\frac{5t}{5}$=$\frac{AN}{3}$，
    ∴AN=3t，
    ∴AP=2AN=6t，
    ∵AP+BP=AB，
    ∴5t+6t=7，
    ∴t=$\frac{7}{11}$，
    ∴PB=PF=$\frac{35}{11}$，
    由△ACO∽△FPR∽△MFT，
    ∴$\frac{FP}{FR}$=$\frac{AC}{AO}$，
    ∴FR=$\frac{21}{11}$，TF=$\frac{14}{11}$，
    ∴$\frac{FM}{TF}$=$\frac{AC}{AO}$，
    ∴FM=$\frac{35}{22}$，
    ∴S=2×$\frac{1}{2}$×PF×FM=$\frac{1225}{242}$．
    ②如图3中，当轴对称图形是正方形时，

    3t+5t=7，
    ∴t=$\frac{7}{8}$，
    ∴S=$\frac{49}{4}$．

    点评 本题考查二次函数综合题、待定系数法、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法其中函数解析式，学会用方程的思想思考问题，需要正确画出图象，考虑问题要全面，属于中考常考题型．

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