【题目】如图,在直角坐标系中,O为坐标原点,点A的坐标为(2,2),点C是线段OA上的一个动点(不运动至O,A两点),过点C作CD⊥x轴,垂足为D,以CD为边在右作正方形CDEF,连接AF并延长交x轴的正半轴于点B,连接OF,设OD=t.
(1)求的值;
(2)用含t的代数式表示△OAB的面积S;
(3)是否存在点B,使以B,E,F为顶点的三角形与△OEF相似?若存在,请求出所有满足要求的B点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)S△OAB=(0<t<2);(3)B点坐标为(1,0)(3,0)(6,0)时,以B,E,F为顶点的三角形与△OFE相似.
【解析】
(1)根据点A的坐标求出∠AOD=45°,然后判断出△OCD是等腰直角三角形,然后得到正方形的边长等于t,即可得出结论;
(2)先利用△ACF和△AOB相似,根据相似三角形对应边成比例用t表示出OB,
(3)根据相似三角形对应边成比例分情况求出BE,然后根据OB的长度列出方程求解即可.
解:(1)∵点A(2,2),
∴∠AOD=45°,
∴△OCD是等腰直角三角形,
∵OD=t,
∴正方形CDEF的边长为t,
∴OE=OD+DE=t+t=2t,
∴
(2)∵OD=t,
∴
∴
∵四边形CDEF是正方形,
∴CF∥OB,
∴△ACF∽△AOB,
∴
∴
∴
∴
(3)由(1)知,
由(2)知,EF=t,
要使△BEF与△OFE相似,
∵∠FEO=∠FEB=90°,
∴只要或
即:BE=2t或,
①当BE=2t时,BO=4t,
∴
∴t1=0(舍去)或,
∴B(6,0).
②当时,
(ⅰ)当B在E的左侧时,
∴
∴t1=0(舍去)或
∴B(1,0).
(ⅱ)当B在E的右侧时,
∴
∴t1=0(舍去)或
∴B(3,0).
综上,B(1,0)(3,0)(6,0).
综上所述,B点坐标为(1,0)(3,0)(6,0)时,以B,E,F为顶点的三角形与△OFE相似.
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【题目】如图,在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN,某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD,其中AD≤MN,已知矩形菜园的一边靠墙,另三边一共用了100米木栏.
(1)若a=20,所围成的矩形菜园的面积为450平方米,求所利用旧墙AD的长;
(2)求矩形菜园ABCD面积的最大值.
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【题目】如图,在直角坐标系中,矩形OABC的顶点O与坐标原点重合,A、C分别在坐标轴上,点B的坐标为(4,2),直线交AB,BC分别于点M,N,反比例函数的图象经过点M,N.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)若点P在y轴上,且△OPM的面积与四边形BMON的面积相等,求点P的坐标.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,BC切⊙O于点B,连接CO并延长交⊙O于点D、E,连接AD并延长交BC于点F.
(1)试判断∠CBD与∠CEB是否相等,并证明你的结论;
(2)求证:;
(3)若BC=AB,求tan∠CDF的值.
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【题目】近段时间,“共享单车”非常流行,小凯想了解学校八年级学生每周平均骑车时间的情况,随机抽查了学校八年级x名同学,对其每周平均骑车时间进行统计.绘制了如下条形统计图(图﹣)和扇形统计图(图二):
(1)根据以上信息回答下列问题:①x=_____;②求扇形统计图中骑车时间为5小时的扇形圆心角的度数;③补全条形统计图.
(2)直接写出这组数据的众数、中位数、平均数.
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【题目】州政府投资3个亿拟建的恩施民族高中,它位于北纬31°,教学楼窗户朝南,窗户高度为h米,此地一年的冬至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最小为α,夏至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最大为β.若你是一名设计师,请你为教学楼的窗户设计一个直角形遮阳蓬BCD,要求它既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光,又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内(如图).根据测量测得∠α=32.6°,∠β=82.5°,h=2.2米.请你求出直角形遮阳蓬BCD中BC与CD的长各是多少?(结果精确到0.1米)
(参考数据:sin32.6°=0.54,sin82.5°=0.99,tan32.6°=0.64,tan82.5°=7.60)
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【题目】已知关于x的方程k2x2﹣2(k+1)x+1=0有两个实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)当k=1时,设所给方程的两个根分别为x1和x2,求(x1﹣2)(x2﹣2)的值.
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx经过点A(4,0)、B(2,2),连接OB、AB.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求证:△OAB是等腰直角三角形.
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【题目】如图,已知点A(2,3)和点B(0,2),点A在反比例函数y= 的图象上.作射线AB,再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转45°,交反比例函数图象于点C,则点C的坐标为________.
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