Question

（2012•哈尔滨模拟）为了美化环境，计划将一个边长为4米的菱形草地ABCD分割成如图所示的四块，其中四边形AEPM和四边形NPFC均为菱形，且∠A=120°，若AE的长为x米，四边形BEPN和四边形DMPF的面积和为S平方米．
（1）请直接写出S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）根据（1）中的函数关系式，计算当x为何值时S最大，并求出最大值．
[参考公式：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），当x=-

b

2a

时，y_{最大（小）值}=

4ac-b2

4a

]．

Answer 1

分析：（1）连AC，根据菱形的性质得到∠BAC=60°，则△ABC为等边三角形，利用等边三角形的面积等于可得到边长平方的

3

4

倍可得到S_菱形ABCD=2S_△ABC=2×

3

4

AB²=8

3

，同理得到S_菱形AEPM=2S_△AEP=2×

3

4

AE²=

3

2

x²，S_菱形NPFC=2S_△NPC=2×

3

4

PN²=

3

2

BE=

3

2

（4-x）²，由S=S_菱形ABCD-S_菱形NPFC即可得到S=8

3

-

3

2

x²-

3

2

（4-x）²，然后化简即可；
（2）利用题中给的公式可计算出当x为何值时S最大以及最大值．

解答：解：（1）连AC，如图，
∵四边形ABCD为菱形，∠A=120°，
∴∠BAC=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴S_菱形ABCD=2S_△ABC=2×

3

4

AB²=8

3

，
同理得到S_菱形AEPM=2S_△AEP=2×

3

4

AE²=

3

2

x²，
S_菱形NPFC=2S_△NPC=2×

3

4

PN²=

3

2

BE=

3

2

（4-x）²，
故S=S_菱形ABCD-S_菱形NPFC
=8

3

-

3

2

x²-

3

2

（4-x）²
=-

3

x²+4

3

x，
（2）∵a=-

3

＜0，
∴S有最大值，
当x=-

4 3

2×(- 3 )

=2时，S_最大值=

4×(- 3 )×0-(4 3 )2

4×(- 3 )

=4

3

．

点评：本题考查了二次函数的应用：利用实际问题中的几何关系得到二次函数解析式，然后利用二次函数的性质解决最大（或最小值）问题．