Question

5．如图，在?ABCD中，AB⊥BD，sinA=$\frac{4}{5}$，将?ABCD放置在平面直角坐标系中，且AD⊥x轴，点D的横坐标为1，点C的纵坐标为3，恰有一条双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0）同时经过B、D两点，则点B的坐标是（$\frac{9}{5}$，$\frac{4}{3}$）．

Answer 1

分析 连结DB，作BH⊥AD于H，DE⊥BC于E，如图，先利用三角函数的定义得到sin∠A=$\frac{BD}{AD}$=$\frac{4}{5}$，则设BD=4t，则AD=5t，AB=3t，BH=$\frac{12}{5}$t，再利用平行四边形的性质得到AD∥BC，AD=BC=5t，CD=AB=3t，接着计算出CE=$\frac{9}{5}$t，然后表示出B（1+$\frac{12t}{5}$，3-5t），k=3-$\frac{9}{5}$t，再利用反比例函数图象上点的坐标特征得到3-$\frac{9}{5}$t=（1+$\frac{12t}{5}$）（3-5t），解方程求出t即可得到B点坐标．

解答 解：连结DB，作BH⊥AD于H，DE⊥BC于E，如图，
∵AB⊥BD，
∴∠ABD=90°，
在Rt△ABD中，sin∠A=$\frac{BD}{AD}$=$\frac{4}{5}$，
设BD=4t，则AD=5t，
∴AB=$\sqrt{A{D}^{2}-B{D}^{2}}$=3t，
在Rt△ABH中，∵sin∠A=$\frac{BH}{AB}$=$\frac{4}{5}$，
∴BH=$\frac{4}{5}$•3t=$\frac{12}{5}$t，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC=5t，CD=AB=3t，
而AD⊥x轴，
∴BC⊥x轴，
在Rt△CDE中，CE=$\sqrt{D{C}^{2}-D{E}^{2}}$=$\sqrt{（3t）^{2}-（\frac{12}{5}t）^{2}}$=$\frac{9}{5}$t，
∴D（1，k），点C的纵坐标为3，
∴B（1+$\frac{12t}{5}$，3-5t），k=3-$\frac{9}{5}$t，
∵1•k=（1+$\frac{12t}{5}$）（3-5t），即3-$\frac{9}{5}$t=（1+$\frac{12t}{5}$）（3-5t），
整理得3t²-t=0，解得t₁=0（舍去），t₂=$\frac{1}{3}$，
∴B（$\frac{9}{5}$，$\frac{4}{3}$）．
故答案为（$\frac{9}{5}$，$\frac{4}{3}$）．

点评 本题考查了反比例函数综合题：熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征和平行四边形的性质；会运用三角函数解三角形；理解坐标与图形性质．