Question

如图，已知直线l：y=-2x+12交x轴于点A，交y轴于点B，点C在线段OB上运动（不与O、B重合），连接AC，作CD⊥AC，交线段AB于点D．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）当点D的纵坐标为8时，求点C的坐标；
（3）过点B作直线BP⊥y轴，交CD的延长线于点P，设OC=m，BP=n，试求n与m的函数关系式，并直接写出m、n的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵y=-2x+12交x轴于点A，交y轴于点B，
∴y=0时，x=6，∴点A坐标为：（6，0）；
x=0时，y=12，∴点B坐标为：（0，12）；

（2）过点D作DN⊥BO，
∵点D的纵坐标为8，
∴点D的横坐标为：8=-2x+12，
解得：x=2，
∴点D的坐标为：（2，8）；
设CO=x，
∴CN=8-x，AO=6，DN=2，
∵CD⊥AC，
∴∠NCD+∠OCA=90°，
∵∠CAO+∠OCA=90°，
∴∠CAO=∠NCD，
∵∠COA=∠DNC=90°，
∴△COA∽△DNC，
∴，
∴，
解得：x₁=2，x₂=6，
∴点C的坐标为：（0，2），（0，6）；

（3）过点B作直线BP⊥y轴，交CD的延长线于点P，
∵∠NCD=∠CAO，
∠COA=∠CBP，
∴△COA∽△PBC，
∴=，
∵OC=m，BP=n，
则BC=12-m，CO=m，
∴=，
∴n=-+2m，（0＜n≤6，0＜m＜12）．
分析：（1）根据图象与坐标轴交点坐标求法得出A、B两点的坐标；
（2）根据点D的纵坐标为8，求出其横坐标，进而利用相似求出C点坐标；
（3）利用相似三角形的性质与判定求出即可．
点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及一次函数与坐标轴交点求法，根据已知得出△COA∽△PBC和△COA∽△DNC是解决问题的很关键．