Question

18．如图，点D是等腰直角△ABC斜边AB的中点，M是边BC上的点，将△DBM沿DM折叠，点B的对称点E落在直线AC的左侧，EM交边AC于点F，ED交边AC于点G．
（1）求证：∠ADE+∠EMC=90°．
（2）若△FCM的周长为12，求直角边BC的长．

Answer 1

分析 （1）等腰直角三角形的性质可知∠B=45°，由三角形的内角和定理可知；∠BDM+∠BND=135°，由翻折的性质可知；∠EDB+∠EMB=270°，由邻补角的定义可求得：∠ADE+∠EMC=360°-（∠EDB+∠EMB）；
（2）首先由等腰直角三角形的性质可知∠A=∠B=45°，然后根据直角三角形斜边上的中线的性质可知：CD=BD=AD，∠ACD=45°，然后由折叠的性质可知：DB=DE，∠DEM=45°，从而可证明∠FEC=∠FCE．于是可得到EF=FC，然后结合折叠的性质可证明BC=12．

解答 解：（1）∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠B=45°．
在△BMD中，∠BDM+∠BND=180°-∠B=135°，
由翻折的性质可知：∠EDM=BDM，∠EMD=∠BMD，
∴∠EDB+∠EMB=270°，
∵∠ADE=180°-∠EDB，∠EMC=180°-∠EMB，
∴∠ADE+∠EMC=360°-（∠EDB+∠EMB）=360°-270°=90°．
（2）如图，连接CD、DF、CE．

∵点D为AB的中点，∠C=90°，
∴CD=$\frac{1}{2}$AB，BD=$\frac{1}{2}$AB，
∴CD=BD
由折叠的性质可知：BD=DE，
∴CD=ED．
∴∠DCE=∠DEC．
∵△ACB为等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°
∵CD=DB，
∴∠DCB=45°．
∴∠ACM=45°
由折叠的性质可知：∠DEM=∠DBM=45°，EM=BM，
∴∠FEC=∠FCE．
∴EF=FC．
△FCM的周长=FC+FM+CM=FE+FM+CM=EM+CM=MB+CM=CB，
∴BC=12．

点评 本题主要考查的是折叠的性质、等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上中线的性质以及勾股定理的应用，证得三角形FCM的周长等于BC是解题的关键．