如图所示,在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=120°,将△ABC绕点B顺时针旋转角a(0°<a<90°)得△A1BC1,A1B交AC于点E,A1C1分别交AC、BC于D、F两点。
(1)如图1,观察并猜想,在旋转过程中,线段EA1与FC有怎样的数量关系?并证明你的结论;
(2)如图2,当a=30°时,试判断四边形BC1DA的形状,并说明理由;
(3)在(2)的情况下,求ED的长。
(1)(2)四边形
是菱形.(3)ED
解析试题分析:(1)根据等边对等角及旋转的特征可得即可证得结论;
(2)先根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形,再得到邻边相等即可判断结论;
(3)过点作
于点
,解
可得AE的长,结合菱形的性质即可求得结果。
(1)
证明:(证法一)
由旋转可知,
∴
∴又
∴即
(证法二)
由旋转可知,而
∴
∴∴
即
(2)四边形是菱形.
证明:同理
∴四边形是平行四边形.
又∴四边形
是菱形.
(3)过点作
于点
,则
在中,
由(2)知四边形是菱形,
∴
∴
考点:本题考查的是旋转的性质,菱形的判定与性质,解直角三角形
点评:解答本题的关键是掌握好旋转的性质,平行四边形判定与性质,的菱形的判定与性质,选择适当的条件解决问题。
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