【题目】我们知道,y=x的图象向右平移1个单位得到y=x﹣1的图象,类似的,y=(k≠0)的图象向左平移2个单位得到y=(k≠0)的图象.请运用这一知识解决问题.
如图,已知反比例函数y=的图象C与正比例函数y=ax(a≠0)的图象l相交于点A(1,m)和点B.
(1)写出点B的坐标,并求a的值;
(2)将函数y=的图象和直线AB同时向右平移n(n>0)个单位长度,得到的图象分别记为C1和l1,已知图象C1经过点M(3,2).
①分别写出平移后的两个图象C1和l1对应的函数关系式;
②直接写出不等式+4≤ax的解集.
【答案】(1)a=2,B点坐标为(﹣1,﹣2);(2)①C′的解析式为y=,图象l′的解析式为y=2x﹣4;②1≤x<2或x≥3.
【解析】试题分析:(1)直接把A点坐标代入y=即可求出m的值;然后再把A点的坐标代入y=ax,求出a的值.利用反比例函数的图象与正比例函数的图象的交点关于原点对称确定B点坐标;
(2)根据题意得到函数y=的图象向右平移n(n>0)个单位长度,得到的图象C′的解析式为y=,然后把M点坐标代入即可得到n的值;
①根据题意易得图象C′的解析式为y=;图象l1的解析式为y=2x-4;
②不等式+4≤ax可理解为比较y=和y=2x-4的函数值,由于y=和y=2x-4为函数y=的图象和直线AB同时向右平移2个单位长度,得到的图象;解不等式≤2x4得出解集.
试题解析:(1)把A(1,m)代入y=得:m==2
把点A(1,2)代入y=ax得a=2
∵反比例函数y=的图象与正比例函数y=2x的图象的交点关于原点对称,
∴B点坐标为(﹣1,﹣2);
(2)函数y=的图象向右平移n(n>0)个单位长度,得到的图象C′的解析式为y=,
把M(3,2)代入2=得,解得n=2;
①根据题意易得图象C′的解析式为y=;图象l′的解析式为y=2(x﹣2)=2x﹣4;
②平移以后两个函数图象的交点分别是(1,﹣2)、(3,2),所以不等式为,结合图象知解集为1≤x<2或x≥3.
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【题目】如图,已知△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,三角形的顶点在相互平行的三条直线l1,l2,l3上,且l1、l2之间的距离为2,l2、l3之间的距离为3,则AC的长是_________;
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【题目】下列定义一种关于n的运算:①当n是奇数时,结果为3n+5②当n为偶数时,结果是(其中k是使是奇数的正整数),运算重复进行,如:取n=26,则26134411……若n=449,则第449次运算的结果是( )
A.1B.2C.7D.8
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【题目】如图,直线l1经过过点P(2,2),分别交x轴、y轴于点A(4,0),B。
(1)求直线l1的解析式;
(2)点C为x轴负半轴上一点,过点C的直线l2:交线段AB于点D。
如图1,当点D恰与点P重合时,点Q(t,0)为x轴上一动点,过点Q作QM⊥x轴,分别交直线l1、l2于点M、N。若,MN=2MQ,求t的值;
如图2,若BC=CD,试判断m,n之间的数量关系并说明理由。
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【题目】阅读理解:如图1,⊙与直线都相切.不论⊙如何转动,直线之间的距离始终保持不变(等于⊙的半径).我们把具有这一特性的图形称为“等宽曲线”.图2是利用圆的这一特性的例子.将等直径的圆棍放在物体下面,通过圆棍滚动,用较小的力就可以推动物体前进.据说,古埃及就是利用只有的方法将巨石推到金字塔顶的.
拓展应用:如图3所示的弧三角形(也称为莱洛三角形)也是“等宽曲线”.如图4,夹在平行线之间的莱洛三角形无论怎么滚动,平行线间的距离始终不变.若直线之间的距离等于,则莱洛三角形的周长为 .
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【题目】问题背景:
小红同学在学习过程中遇到这样一道计算题“计算4×2.112-4×2.11×2.22+2.222”,她觉得太麻烦,估计应该有可以简化计算的方法,就去请教崔老师.崔老师说:你完成下面的问题后就可能知道该如何简化计算啦!
获取新知:
请你和小红一起完成崔老师提供的问题:
(1)填写下表:
x=-1,y=1 | x=1,y=0 | x=3,y=2 | x=2,y=-1 | x=2,y=3 | |
A=2x-y | -3 | 2 | 4 | 5 | 1 |
B=4x2-4xy+y2 | 9 | 4 | 16 |
(2)观察表格,你发现A与B有什么关系?
解决问题:
(3)请利用A与B之间的关系计算:4×2.112-4×2.11×2.22+2.222.
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【题目】在《代数式》的学习中,我们通过对同一面积的不同表达和比较,得到合并同类项的法则。下面我们利用这种方法来研究速算。
(1)提出问题:47×43,56×54,89×81,……是一些十位数相同,且个位数之和是10的两个两位数相乘的算式,是否可以找到一种速算方法?
(2)几何建模:
用长方形的面积表示两个正数的乘积,以47×43为例:
(1)画长为47,宽为43的矩形,如图,将这个47×43的矩形从右边切下长40,宽3的一条,拼接到原长方形上面.
(2)原长方形面积可以有两种不同的表达方式:47×43的矩形面积或(40+7+3)×40的矩形与右上角3×7的长方形面积之和,即47×43=(40+10)×40+3×7=5×4×100+3×7=2021,
(3)模仿应用:
①请仿照上面的方法使用长方形的面积表示56×54的乘积;
②填空:89×81= ×8×100+ × =7209;
(4)归纳提炼:
两个十位数字相同,并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是(用文字表述) .
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