Question

4．如图1，直线l：y=x+3与y轴交于点A，过点A的抛物线y=（x+1）²+k与另一抛物线y=（x-h）²+3+h（h≠1）交于点C，这两条抛物线的顶点分别为B，D．
（1）求k的值；
（2）判断点B和点D是否在直线l上，并说明理由；
（3）用含h的代数式表示点C的橫坐标；
（4）当∠ACD=90°时，求h的值；并直接写出当∠ACD＞90°时h的范围（图2供参考）．

Answer 1

分析 （1）根据自变量与函数值的对应关系，可得A点坐标，根据待定系数法，可得答案；
（2）根据顶点式函数解析式，可得顶点坐标，根据顶点的坐标满足函数解析式顶点在函数图象上，可得答案；
（3）根据解方程组，可得C点的坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得C点坐标；
（4）根据勾股定理，可得关于h的方程，根据解方程，可得答案．

解答 解：（1）∵点A为y=x+3与y轴的交点，
∴A（0，3），
把A（0，3）代入y=（x+1）²+k得k+1=3，
解得k=2；
（2）∵y=（x+1）²+2的顶点为B，
∴B（-1，2）
代入y=x+3得y=-1+3=2，
∴B在直线l上，
∵y=（x-h）²+3+h顶点为D，
∴D（h，3+h）
代入y=x+3得y=h+3，
∴D在直线l上；
（3）联立y=（x+1）²+2和y=（x-h）²+3+h，
得 （x+1）²+2=（x-h）²+3+h，
整理得2x（h+1）=h（h+1）
∵h≠-1，
∴x=$\frac{1}{2}$h．
 此时y_C=（$\frac{h}{2}$+1）²+2=$\frac{{h}^{2}}{4}$+h+3
C点坐标（$\frac{h}{2}$，$\frac{{h}^{2}}{4}$+h+3），h，3+h）
（4）A（0，3），D（h，3+h），C点坐标（$\frac{h}{2}$，$\frac{{h}^{2}}{4}$+h+3），
当∠ACD=90°时AC²+CD²=AD²，
又∵AC²=（$\frac{h}{2}$）²+（$\frac{{h}^{2}}{4}$+h）²，CD²=$\frac{{h}^{2}}{4}$+（$\frac{{h}^{2}}{4}$）²，AD²=h²+h²，
∴（$\frac{h}{2}$）²+（$\frac{{h}^{2}}{4}$+h）²+$\frac{{h}^{2}}{4}$+（$\frac{{h}^{2}}{4}$）²=h²+h²，
整理得$\frac{{h}^{2}}{4}$+h-1=0
解得h₁=2$\sqrt{2}$-2，h₂=-2$\sqrt{2}$-2；
要使∠ACD＞90°只须-2$\sqrt{2}$-2＜h＜2$\sqrt{2}$-2且h≠-1，h≠0．

点评 本题考查了二次函数综合题，把点的坐标代入解析式是解题关键；利用点的坐标满足函数解析式点在函数图象上是解题关键；解方程组是求C点的坐标的关键；利用勾股定理是解题关键．