Question

5．已知关于x的方程x²+2（m+1）x+m²=0有两个实数根x₁、x₂．
（1）求m的取值范围；
（2）若x₁、x₂满足（|x₁|-1）（|x₂|-1）=-1，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由方程有两个不等的实数根可得出b²-4ac≥0，代入数据即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；
（2）由根与系数的关系可得出“x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$=-2（m+1），x₁x₂=$\frac{c}{a}$=m²”，再由x₁x₂=m²≥0，可得出x₁、x₂同号或其中一个为0，将（|x₁|-1）（|x₂|-1）=-1变形为只含x₁x₂与x₁+x₂的形式，代入数据即可得出关于m的一元二次方程，解方程即可得出结论．

解答 解：（1）由已知得：△=b²-4ac=[2（m+1）]²-4m²≥0，
即2m+1≥0，
解得：m≥-$\frac{1}{2}$．
（2）∵关于x的方程x²+2（m+1）x+m²=0有两个实数根x₁、x₂，
∴x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$=-2（m+1），x₁x₂=$\frac{c}{a}$=m²．
∵x₁x₂=$\frac{c}{a}$=m²＞0，
∴x₁、x₂同号或其中一个为0，
∴（|x₁|-1）（|x₂|-1）=|x₁x₂|-（|x₁+x₂|）+1=m²-2（m+1）+1=-1，
即m²-2m=m（m-2）=0，
解得：m₁=0，m₂=2．

点评 本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）得出关于m的一元一次不等式；（2）得出关于m的一元二次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系找出两根之和与两根之积是关键．