Question

14．在平面直角坐标系中，已知抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c（b、c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，-1），点C的坐标为（4，3）直角顶点B在第四象限．
（1）如图，若抛物线经过A、B两点，求抛物线的解析式；
（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在AC方向滑动距离为$\sqrt{2}$时，试证明：平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点．

Answer 1

分析 （1）先求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的函数表达式；
（2）如答题图2，设顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离$\sqrt{2}$时，到达P′，作P′M∥y轴，PM∥x轴，交于M点，根据直线AC的斜率求得△P′PM是等腰直角三角形，进而求得抛物线向上平移1个单位，向右平移1个单位，从而求得平移后的解析式，进而求得与x轴的交点，与直线AC的交点，即可证得结论．

解答 解：（1）∵等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，-1），C的坐标为（4，3）
∴点B的坐标为（4，-1）．
∵抛物线过A（0，-1），B（4，-1）两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=-1}\\{-\frac{1}{2}×16+4b+c=-1}\end{array}\right.$，
解得：b=2，c=-1，
∴抛物线的函数表达式为：y=-$\frac{1}{2}$x²+2x-1．

（2）证明：如图，设顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离$\sqrt{2}$时，到达P′，作P′M∥y轴，PM∥x轴，交于M点，
∵点A的坐标为（0，-1），点C的坐标为（4，3），
∴直线AC的解析式为y=x-1，
∵直线的斜率为1，
∴△P′PM是等腰直角三角形，
∵PP′=$\sqrt{2}$，
∴P′M=PM=1，
∴抛物线向上平移1个单位，向右平移1个单位，
∵y=-$\frac{1}{2}$x²+2x-1=-$\frac{1}{2}$（x-2）²+1，
∴平移后的抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$（x-3）²+2，
令y=0，则0=-$\frac{1}{2}$（x-3）²+2，
解得x₁=1，x=5₂，
∴平移后的抛物线与x轴的交点为（1，0），（5，0），
$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}（x-3）^{2}+2}\\{y=x-1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴平移后的抛物线与AC的交点为（1，0），
∴平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点（1，0）．

点评 此题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数、几何变换（平移，对称）、等腰直角三角形等知识点，考查了存在型问题，试题难度较大．