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16.如图,矩形OABC的顶点A在y轴上,C在x轴上,双曲线y=$\frac{k}{x}$与AB交于点D,与BC交于点E,DF⊥x轴于点F,EG⊥y轴于点G,交DF于点H.若矩形OGHF和矩形HDBE的面积分别是1和2,则k的值为(  )
A.$\frac{12}{5}$B.$\sqrt{2}$+1C.$\frac{5}{2}$D.2$\sqrt{2}$

分析 设D(t,$\frac{k}{t}$),由矩形OGHF的面积为1得到HF=$\frac{1}{t}$,于是根据反比例函数图象上点的坐标特征可表示出E点坐标为(kt,$\frac{1}{t}$),接着利用矩形面积公式得到(kt-t)•($\frac{k}{t}$-$\frac{1}{t}$)=2,然后解关于k的方程即可得到满足条件的k的值.

解答 解:设D(t,$\frac{k}{t}$),
∵矩形OGHF的面积为1,DF⊥x轴于点F,
∴HF=$\frac{1}{t}$,
而EG⊥y轴于点G,
∴E点的纵坐标为$\frac{1}{t}$,
当y=$\frac{1}{t}$时,$\frac{k}{x}$=$\frac{1}{t}$,解得x=kt,
∴E(kt,$\frac{1}{t}$),
∵矩形HDBE的面积为2,
∴(kt-t)•($\frac{k}{t}$-$\frac{1}{t}$)=2,
整理得(k-1)2=2,
而k>0,
∴k=$\sqrt{2}$+1.
故选B.

点评 本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义:在反比例函数y=$\frac{k}{x}$图象中任取一点,过这一个点向x轴和y轴分别作垂线,与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|.

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