如图.已知:在直角坐标系中．点E从O点出发.以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动.点F从O点出发.以2个单位/秒的速度沿y轴正方向运动．B(4.2).以BE为直径作⊙O1．(1)若点E.F同时出发.设线段EF与线段OB交于点G.试判断点G与⊙O1的位置关系.并证明你的结论,的条件下.连接FB.几秒时FB与⊙O1相切?(3)若点E提前2秒出发.点F再出发� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，已知：在直角坐标系中．点E从O点出发，以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，点F从O点出发，以2个单位/秒的速度沿y轴正方向运动．B（4，2），以BE为直径作⊙O₁．

（1）若点E、F同时出发，设线段EF与线段OB交于点G，试判断点G与⊙O₁的位置关系，并证明你的结论；
（2）在（1）的条件下，连接FB，几秒时FB与⊙O₁相切？
（3）若点E提前2秒出发，点F再出发．当点F出发后，点E在A点的左侧时，设BA⊥x轴于点A，连接AF交⊙O₁于点P，试问AP•AF的值是否会发生变化？若不变，请说明理由并求其值；若变化，请求其值的变化范围．

【答案】分析：（1）要判断点G与⊙O₁的位置关系，只需比较O₁G与⊙O₁的半径O₁B的大小．设点E出发t秒，则E（t，0），F（0，2t），用待定系数法求出直线EF和直线OB的解析式，确定点G的坐标，用两点间的距离公式计算出O₁G与O₁B的大小，从而进行判定．
（2）如果t秒时FB与⊙O₁相切，那么∠FBE=90°；在RT△BEF与RT△OEF中，根据EF不变列出方程，求出t的值．
（3）设点F出发t秒，则E（t+2，0），F（0，2t）；设P（x，y），由tan∠FAO=y：（4-x）=2t：4，得出x=4-

，即P（4-

，y）；因为BE为直径，所以∠BPE=90°，PE²+BP²=BE²，得出y与t的关系，可以含t的代数式得出P的坐标，分别计算AP，AF的长，根据结果判断．
解答：解：（1）设点E出发t秒，则E（t，0），F（0，2t）；
设直线EF的方程为y=kx+b，则

，
∴解得

，
∴y=-2x+2t，
∴直线OB的方程为y=

x；
∵解方程组

，
得

，
∴G（

t，

t）；
∵O₁是BE的中点，
∴O₁（

，1），
∴O₁G²=（

t）²+（1-

t）²=

t²-2t+5，O₁B²=（4-

）²+1²=

t²-2t+5，
∴O₁G=O₁B，点G在⊙O₁上．

（2）设t秒时FB与⊙O₁相切，那么E（t，0），F（0，2t），∠FBE=90°；
∵EF²=BE²+BF²，EF²=OE²+OF²，
∴（4-t）²+2²+4²+（2-2t）²=t²+（2t）²，
解得t=2.5．

（3）设点F出发t秒，则E（t+2，0），F（0，2t），
设P（x，y）；
∵tan∠FAO=y：（4-x）=2t：4，
∴x=4-

，
∴P（4-

，y）．
∵BE为直径，
∴∠BPE=90°．
∵PE²+BP²=BE²∴利用两点间的距离公式把B、P、E、F各点的坐标代入得，
∴y=

，
∴x=

，
即P（

，

），
∴AP²=（4-

）²+（

）²，
∴AP=

，AF=

．
∴AP•AF=8，是不会发生变化的．
点评：本题综合考查了切线的判定，三角函数等知识，解题中要善于抓住不变量，找到等量关系，题目有一定难度，可以考查学生的综合实力．

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