Question

如图，以线段AB为直径作⊙O，⊙O的切线切圆于点E，交AB的延长线于点D，连接BE，过点O作OC∥BE交切线DE于点C，连接AC．
（1）求证：AC是⊙O的切线．
（2）若已知BD=2，sinD=

3

5

，求线段OC的长．

Answer 1

考点：切线的判定与性质,勾股定理,解直角三角形

专题：

分析：（1）连接OE，证△AOC≌△EOC，推出∠CEO=∠CAO=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）解直角三角形求出OE，求出AD，解直角三角形求出AC，根据勾股定理求出OC即可．

解答：（1）证明：连接OE，由切线性质易知∠CEO=90°，
∵OC∥BE，
∴∠AOC=∠OBE，∠EOC=∠OEB，
∵OB=OE，
∠OBE=∠OEB，
∴∠AOC=∠COE，
在△AOC和△EOC中，

OC=OC ∠AOC=∠EOC OA=OE

，
∴△AOC≌△EOC（SAS），
∴∠CAO=∠CEO=90°，
∴AC是⊙O的切线；

（2）解：在Rt△DOE中，∠DEO=90°，sinD=

3

5

，
∴

OE

OD

=

3

5

，
∴

OE

OE+2

=

3

5

，
∴OE=3，AD=8，
在Rt△ACD中，∠CAD=90°，sinD=

3

5

，AD=8，
∴AC=6，
在Rt△ACO中，利用勾股定理可求得OC=

62+32

=3

5

．

点评：本题考查了切线的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定，解直角三角形的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力，题目综合性比较强，难度适中．