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如图:△ABC中,AD是边BC上的中线,过点A作AE∥BC,过点D作DE∥AB与AC、AE分别交于点O、E,连接EC.
(1)求证:AD=EC;
(2)当∠BAC=90°时,求证:四边形ADCE是菱形;
(3)在(2)的条件下,若AB=AO,且OD=a,求菱形ADCE的周长.

【答案】分析:(1)首先证明四边形ABDE是平行四边形,可得AE=BD,再根据DC=DB可得AE=DC,进而证出四边形ADCE是平行四边形,可得AD=EC;
(2)当∠BAC=90°时,可证出AD=DC,再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形ADCE是菱形;
(3)根据菱形的性质计算出AO=DE=2DO=2a,再根据勾股定理计算出AD的长,进而得到菱形ADCE的周长.
解答:证明:(1)∵AE∥BC,DE∥AB,
∴四边形ABDE是平行四边形,
∴AE=BD,
∵D是BC中点,
∴DC=DB,
∴AE=DC,AE∥DC,
∴四边形ADCE是平行四边形,
∴AD=EC;

(2)∵当∠BAC=90°时,AD是Rt△ABC斜边上的中线,
∴AD=
∴四边形ADCE是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形);

(3)∵四边形ADCE是菱形,
∴对角线AC⊥DE且O是DE中点,
∵ABDE是平行四边形,
∴AB=DE,
又已知AB=AO
∴AO=DE=2DO=2a,
在Rt△AOD中,可求出AD=
∴菱形ADCE的周长为4
点评:此题主要考查了菱形的判定与性质,关键是掌握菱形的判定方法与性质定理.
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