Question

【题目】（2016湖南省益阳市）如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，D为AB的中点，EF为△ACD的中位线，四边形EFGH为△ACD的内接矩形（矩形的四个顶点均在△ACD的边上）．

（1）计算矩形EFGH的面积；

（2）将矩形EFGH沿AB向右平移，F落在BC上时停止移动．在平移过程中，当矩形与△CBD重叠部分的面积为时，求矩形平移的距离；

（3）如图③，将（2）中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形E1F1G1H1，将矩形E1F1G1H1绕G1点按顺时针方向旋转，当H1落在CD上时停止转动，旋转后的矩形记为矩形E2F2G1H2，设旋转角为α，求cosα的值．

Answer 1

【答案】答案见解析.

【解析】试题分析：（1）根据已知，由直角三角形的性质可知AB=2，从而求得AD，CD，利用中位线的性质可得EF，DF，利用三角函数可得GF，由矩形的面积公式可得结果；

（2）首先利用分类讨论的思想，分析当矩形与△CBD重叠部分为三角形时（0＜x≤），利用三角函数和三角形的面积公式可得结果；当矩形与△CBD重叠部分为直角梯形时（＜x≤），列出方程解得x；

（3）作H2Q⊥AB于Q，设DQ=m，则H2Q=，又，，利用勾股定理可得m，在Rt△QH2G1中，利用三角函数解得cosα．

试题解析：（1）如图①，在△ABC中，∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，∴AB=2，

又∵D是AB的中点，∴AD=1，CD=AB=1，

又∵EF是△ACD的中位线，∴EF=DF=，

在△ACD中，AD=CD，∠A=60°，∴∠ADC=60°，

在△FGD中，GF=DFsin60°=，∴矩形EFGH的面积S=EFGF==；

（2）如图②，设矩形移动的距离为x，则0＜x≤；

当矩形与△CBD重叠部分为三角形时，则0＜x≤，S=，∴x=．（舍去）；

当矩形与△CBD重叠部分为直角梯形时，则＜x≤，重叠部分的面积S=，∴x=，即矩形移动的距离为时，矩形与△CBD重叠部分的面积是；

（3）如图③，作H2Q⊥AB于Q，设DQ=m，则H2Q=，又，．

在Rt△H2QG1中，，解之得m=（负的舍去），

∴cosα===．