Question

【题目】如图，点、、分别是等边各边上的点，且，．

（）求证：是等边三角形．

（）若，求等边的周长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）18

【解析】

（1）由等边三角形的性质易得AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°，由已知易得BD=CE=AF，∠DEB=∠EFC，可得△BDE≌△CEF≌△AFD，由全等三角形的性质可得DE=FD=EF，证得结论；

（2）首先由∠DEC=150°，易得∠FEC=90°，可得△ADF、△BED、△CFE均为直角三角形，可得∠CFE=∠ADF=∠BDE=30°，由直角三角形的性质可得CF=AD=BE=2BD=4，可得AB，易得结果．

（1）证明：∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°，

∵BD=CE，

∴BD=CE=AF，

在△BDE与△CEF中，

，

∴△BDE≌△CEF（SAS），

∴DE=EF，

同理可得△BDE≌△AFD，

∴DE=FD，

∴DE=FD=EF，

∴△DEF为等边三角形；

（2）解：∵∠DEC=150°，∠DEF=60°，

∴∠FEC=90°，

∴△ADF、△BED、△CFE均为直角三角形，且∠CFE=∠ADF=∠BDE=30°，

∵BD=CE=2，

∴CF=AD=BE=2BD=4，

∴AB=BC=AC=6，

∴等边△ABC的周长为：6×3=18