Question

如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x²+bx+c的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于C点．
（1）试判断b与c的积是正数还是负数，为什么？
（2）如果AB=4，且当抛物线y=-x²+bx+c的图象向左平移一个单位时，其顶点在y轴上．
①求原抛物线的表达式；
②设P是线段OB上的一个动点，过点P作PE⊥x轴交原抛物线于E点．问：是否存在P点，使直线BC把△PCE分成面积之比为3：1的两部分？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由图象知：c＞0，且x=-＞0，即b＞0，
因此bc＞0，

（2）由题意知：原抛物线的对称轴为x=1，
∵AB=4，
∴A（-1，0），B（3，0），
已知A、B均在原抛物线上，则有：
，
解得，
∴原抛物线的解析式为y=-x²+2x+3．

②如图：设直线BC与PE的交点为F，
由于△CEF和△CPF等高，因此面积比等于EF和PF的比．
易知：直线BC的解析式为：y=-x+3，
设P点坐标为（m，0），（m＞0）则有E（m，-m²+2m+3），F（m，-m+3），
∴EF=-m²+2m+3-（-m+3）=-m²+3m=m（-m+3），PF=-m+3，
①当EF：PF=3：1时，=，解得m=3，经检验m=3是增根，不合题意舍去；
②当EF：PF=1：3时，=，解得m=，经检验m=是原方程的解．
∴存在符合条件的P点，且坐标为P（，0）．
分析：（1）由图象可知：抛物线与y轴交点在y轴正半轴，因此c＞0，抛物线对称轴在y轴右侧，那么对称轴方程也大于0据此可求出b的符号，进而可求出b、c积的符号．
（2）①抛物线对称轴向左平移一个单位时，抛物线对称轴为y轴，则说明原抛物线的对称轴为x=1，可根据AB=4，求出A、B的坐标，然后代入抛物线的解析式中，即可求出原抛物线的解析式．
②如果设PE与BC的交点为F的话，那么EF长就是两函数差的绝对值，而PF的长就是直线BC的函数值．那么根据等高三角形的面积比等于底边比，可得出当直线BC分三角形PCE的面积为3：1两部分时，有两种情况：
（I）EF：PF=3：1；
（II）EF：PF=1：3；然后将上面所说的EF，PF的表达式代入不同的比例关系式中，即可求出P点的坐标．
点评：本题考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法等知识，要注意的是（2）（II）中在不确定直线BC分三角形PCE的两部分谁大谁小的情况下要分类讨论，不要漏解．