Question

如图，AC是圆O的直径，AC=10厘米，PA，PB是圆O的切线，A，B为切点，过A作AD⊥BP，交BP于D点，连接AB，BC．
（1）求证：△ABC∽△ADB；
（2）若切线AP的长为12厘米，求弦AB的长．

Answer 1

分析：（1）根据AC为⊙O的半径，可知：∠ABC=90°，由AD⊥BP，可知：∠ABC=∠ADB，根据切线的性质知：∠ABD=∠ACB，从而可证：△ABC∽△ADB；
（2）在Rt△POA中，根据勾股定理可将OP的长求出，再根据△ABC∽△PAO，可将AB的长求出．

解答：（1）证明：∵AC是圆O的直径，
∴∠ABC=90°，
∵AD⊥BP，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABC=∠ADB，
∵PA是圆O的切线，
∴∠PAB=∠ACB，
又∵PA=PB，
∴∠PAB=∠ABD，
∴∠ABD=∠ACB，
[也可以为：∵PA，PB是圆O的切线，
∴∠ABD=∠ACB（弦切角定理）]
在△ABC和△ADB中：
∵∠ABC=∠ADB，∠ABD=∠ACB，
∴△ABC∽△ADB；

（2）解：连接OP，OB，
∵PA是⊙O的切线，AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=∠OAP，
在Rt△AOP中，AP=12厘米，OA=5厘米
∴OP=13厘米
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴

AE

=

BE

，

∴∠AOE=

1

2

∠AOB=∠ACB，
在△ABC与△PAO中，
∵∠AOE=∠ACB，∠ABC=∠OAP，
∴△ABC∽△PAO，
∴

AB

AC

=

AP

OP

，
∴

AB

10

=

12

13

，
∴AB=

120

13

厘米．

点评：本题主要考查相似三角形的判定及切线性质的应用．