Question

某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：
设∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在两射线上．
活动一：
如图甲所示，从点A₁开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，A₁A₂为第1根小棒．
数学思考：
（1）小棒能无限摆下去吗？答：

 

．（填“能“或“不能”）
（2）设AA₁=A₁A₂=A₂A₃=1．
①θ=

 

度；
②若记小棒A_2n-1A_2n的长度为a_n（n为正整数，如A₁A₂=a₁，A₃A₄=a₂，…），求出此时a₂，a₃的值，并直接写出a_n（用含n的式子表示）．

活动二：
如图乙所示，从点A₁开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A₁A₂为第1根小棒，且A₁A₂=AA₁．
数学思考：
（3）若已经向右摆放了3根小棒，则θ₁=

 

，θ₂=

 

，θ₃=

 

（用含θ的式子表示）；
（4）若只能摆放4根小棒，求θ的范围．

Answer 1

分析：（1）本题需先根据已知条件∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）小棒两端分别落在两射线上，从而判断出能继续摆下去．
（2）本题需先根据已知条件AA₁=A₁A₂=A₂A₃=1，A₁A₂⊥A₂A₃，得出A₂A₃和AA₃的值，判断出A₁A₂∥A₃A₄、A₃A₄∥A₅A₆，即可求出∠A=∠AA₂A₁=∠AA₄A₃=∠AA₆A，从而此时a₂，a₃的值和出a_n．
（3）本题需先根据A₁A₂=AA₁，得出∠A₁AA₂和∠AA₂A₁相等，即可得出θ₁的值，同样道理得出θ₂、θ₃的值．
（4）本题需先根据已知条件，列出不等式，解出θ的取值范围，即可得出正确答案．

解答：解：（1）∵根据已知条件∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）小棒两端能分别落在两射线上，
∴小棒能继续摆下去．
故答案为：能；

（2）①∵A₁A₂=A₂A₃，A₁A₂⊥A₂A₃，
∴∠A₂A₁A₃=45°，
∴∠AA₂A₁+∠θ=45°，
∵∠AA₂A₁=∠θ，
∴∠θ=22.5°；

②∵AA₁=A₁A₂=A₂A₃=1，A₁A₂⊥A₂A₃
∴A₁A₃=

2

，AA₃=1+

2

又∵A₂A₃⊥A₃A₄
A₁A₂∥A₃A₄
同理；A₃A₄∥A₅A₆
∴∠A=∠AA₂A₁=∠AA₄A₃=∠AA₆A₅
∴AA₃=A₃A₄，AA₅=A₅A₆
∴a₂=A₃A₄=AA₃=1+

2

a₃=AA₃+A₃A₅=a₂+A₃A₅
∵A₃A₅=

2

a₂，
∴a₃=A₅A₆=AA₅=a₂+

2

a₂=(

2

+1)2
∴a_n=(

2

+1)n-1；

（3）∵A₁A₂=AA₁
∴∠A₁AA₂=∠AA₂A₁=θ
∴∠A₂A₁A₃=θ₁=θ+θ
∴θ₁=2θ
同理可得：θ₂=3θ
θ₃=4θ；

（4）如图：

∵A₄A₃=A₄A₅，
∴∠A₄A₃A₅=∠A₄A₅A₃=4θ°，
∵根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，
当∠A₅A₄B是钝角或直角时，不能继续摆放小棒了，
∴当∠A₄A₃A₅是锐角，∠A₅A₄B=5θ是钝角或直角时，只能摆放4根小棒，
∴5θ≥90°，4θ＜90°，
即

5θ≥90° 4θ＜90°

，
∴18°≤θ＜22.5°．
故答案为：能，22.5°，2θ，3θ，4θ．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定和性质，在解题时要注意根据题意找出规律并与相似三角形的性质相结合是本题的关键．