练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，在△ABC中，AB=BC=2，高BE=
    		3
    ，在BC边的延长线上取一点D，使CD=3．
    （1）现有一动点P由A沿AB移动，设AP=t，S△PCD=S，求S与t之间的关系式及自变量t的取值范围．
    （2）在（1）的条件下，当t=
    1
    3
    时，过点C作CH⊥PD于H，设K=7CH：9PD．求证：关于x的二次函数y=-x2-(10k-
    		3
    )x+2k    的图象与x轴的两个交点关于原点对称．
    （3）在（1）的条件下，是否存在正实数t，使PD边上的高CH=
    1
    2
    CD    ？如果存在，请求出t的值；如果精英家教网不存在，请说明理由．
    分析：（1）要求s与t的函数关系式，只要表示出DC边上的高就可以了，而CD边上的高可以用三角函数表述出来．因为很容易证明△ABC是正三角形．AP的取值范围是0≤PD≤2．
    （2）要求证二次函数与x轴的交点关于原点对称，只要求出抛物线与x轴的交点坐标，要求交点坐标就要求出k值，要求k值就要求出CH、PD的值，可以利用三角形的面积公式和勾股定理求出，从而的解．
    （3）当CH=1.5时，利用勾股定理建立方程，从而求出t的值，确定t的值满足不满足题意要求．
    解答：精英家教网（1）解：过点P作PF⊥BD于点F．
    ∵AB=BC=2，高BE=
    		3
    ，
    ∴由锐角三角函数，得∠A=60°，
    ∴△ABC是等边三角形，
    ∴∠B=60°，
    ∴∠BPF=30°．
    ∵AP=t，
    ∴PB=2-t，
    ∴PF=
    		3
    2
    （2-t），
    ∴S=
    1
    2
    ×3×
    		3
    2
    （2-t），
    =-
    3
    		3
    4
    t+
    3
    		3
    2
    （0≤t≤2）；

    （2）证明：∵t=
    1
    3
    ，
    ∴PB=2-
    1
    3
    =
    5
    3
    ，
    ∴PB=
    5
    6
    ，PF=
    5
    		3
    6
    ，CF=
    7
    6
    ，
    ∴DF=3+
    7
    6
    =
    25
    6
    ，
    在Rt△PFD中由勾股定理得
    DP=
    		(  
    5
    6
    		3
    )    2     +(
    25
    6
    )    2       
    ，
    =
    10
    		7
    6
    ，
    在△PCD中
    1
    2
    ×
    5
    		3
    6
    ×3=
    1
    2
    ×
    10
    		7
    6
    CH，
    解得CH=
    3
    		21
    14
    ，
    K=
    3
    		21
    14
    ×7
    10
    		7
    6
    ×9
    =
    		3
    10
    ，
    ∴y=-x2-(10×
    		3
    10
    -
    		3
    )x +2×
    		3
    10
    ，
    y=-x2+
    		3
    5
    ，
    当y=0时，解得x=±
    		5
    		3
    5
    ，
    ∴抛物线与x轴的两个交点坐标分别为：(
    		5
    		3
    5
    ，0)或(-
    		5
    		3
    5 
    ，0)    ，
    ∴原二次函数的图象与x轴的交点关于原点对称；

    （3）解：不存在正实数P．
    ∵CH⊥DP，且CH=
    1
    2
    CD
    ∴∠D=30°
    ∴DP=2PF=（2-t）
    		3
    ，DF=2-
    2-t
    2
    +3=
    t+8
    2

    由勾股定理得
    [(2-t)
    		3
    ]2=(
    t+8
    2
    )2+(
    (2-t)
    		3
    2
    )2
    解得t1=7不符合题意应舍去．
    t2=-
    1
    2
    不符合题意应舍去．
    ∴当CH=1.5时，求出的t的值不满足题意要求．
    点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了求二次函数的解析式，轴对称、三角函数值、勾股定理以及问题的存在性等多个知识点，且计算量比较大，对学生的计算能力有较高的要求．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    20、如图，在△ABC中，∠BAC=45°，现将△ABC绕点A逆时针旋转30°至△ADE的位置，使AC⊥DE，则∠B=
    75
    度．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，取斜边的中点，向斜边作垂线，画出一个新的等腰三角形，如此继续下去，直到所画出的直角三角形的斜边与△ABC的BC重叠，这时这个三角形的斜边为
    （　　）
    A、
    1
    2
    B、（
    		2
    2
    ）7
    C、
    1
    4
    D、
    1
    8

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    2、如图，在△ABC中，DE∥BC，那么图中与∠1相等的角是（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，在△ABC中，AB=AC，且∠A=100°，∠B=
     
    度．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    14、如图，在△ABC中，AB=BC，边BC的垂直平分线分别交AB、BC于点E、D，若BC=10，AC=6cm，则△ACE的周长是
    16
    cm．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案