Question

已知抛物线与x轴两交点间的距离为4，与y轴交于点C，其顶点为（-1，4），求△ABC的面积．

Answer 1

分析：根据题意可设抛物线的解析式为y=a（x-h）²+k，再将顶点（-1，4）代入，由抛物线与x轴两交点间的距离为4，再设抛物线和x轴的两个交点的横坐标为x₁，x₂（x₁＞x₂）由根与系数的关系得出x₁-x₂．

解答：解：设抛物线的解析式为y=a（x-h）²+k，
∵顶点为（-1，4），
∴y=a（x+1）²+4，
即y=ax²+2ax+a+4，
∵抛物线与x轴两交点间的距离为4，
∴设抛物线和x轴的两个交点的横坐标为x₁，x₂（x₁＞x₂），
∴x₁+x₂=-2，x₁•x₂=

a+4

a

，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=4-4×

a+4

a

，
∵x₁-x₂=4，
∴4-4×

a+4

a

=16，
解得a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-（x+1）²+4，
令x=0，得y=-（0+1）²+4=-1+4=3，
∴C（0，3），
∴S_△ABC=

1

2

×4×3=6．

点评：本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，用到的知识点为：二次函数y=ax²+bx+c的顶点（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）；当x=0时，求得二次函数与y轴的交点；x轴上两点间的距离等于较大的点的坐标减去较小的点的坐标．