Question

19．如图a，直线l经过⊙O的圆心O，且与⊙O交于A，B两点，点C在⊙O上，且∠AOC=30°，点P是直线l上的一个动点（与圆心O不重合），直线CP与⊙O相交于点Q．
（1）如图b，当点P在半径OA上时，若QP=QO，求∠OCP的度数．
（2）当点P在直线l上其他位置时，是否还存在∠OCP使得QP=QO？若存在，请求出∠OCP的度数；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设∠QPO=x，由QO=QP得到∠QPO=∠QOP=x，再根据三角形内角和定理得∠Q=180°-2x，由OQ=OC，得出∠C=180°-2x，再根据三角形外角性质得∠OPQ=∠C+∠POC，得180°-2x+30°=x，求得x的值，进而即可求得∠OCP的度数．
（2）分类讨论：如图2，设∠QOC=x，则∠QOP=x+30°，由QO=QP得到∠QPO=∠QOP=x+30°，再根据三角形外角性质得∠QCO=∠COP+∠CPO=x+60°，而OQ=OC，所以∠OQC=∠OCQ=x+60°，然后根据三角形内角和定理得x+x+60°+x+60°=180°，解得x=20°，再利用∠OCP=∠QOC+∠OQC进行计算即可；当点Q在C点时，则∠OCP=120°；利用同样的方法，解决如图3的情况．

解答 解：（1）如图1，设∠QPO=x，
∵PQ=QO，
∴∠QOP=∠QPO=x，
∴∠Q=180°-2x，
∵OQ=OC，
∴∠C=180°-2x，
∵∠OPQ=∠C+∠POC，
∴180°-2x+30°=x，解得x=70°，
∴∠OCP=180°-2×70°=40°；
（2）存在，
如图2，设∠QOC=x，则∠QOP=x+30°，
∵QO=QP，
∴∠QPO=∠QOP=x+30°，
∴∠QCO=∠COP+∠CPO=30°+x+30°=x+60°，
∵OQ=OC，
∴∠OQC=∠OCQ=x+60°，
∴x+x+60°+x+60°=180°，解得x=20°，
∴∠OCP=∠QOC+∠OQC=20°+20°+60°=100°；
当点Q在C点时，易得∠OCP=120°；
如图3，设∠QPO=x，
∵PQ=QO，
∴∠QOP=∠QPO=x，
∴∠CQO=2x，
而OC=OQ，
∴∠C=2x，
∵∠AOC=∠APC+∠C，
∴x+2x=30°，解得x=10°，
∴∠OCP=2x=20°．

点评 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰三角形的性质．