Question

17、如果自然数a，b，c满足a²+b²=c²，求证：
（1）a，b中至少有一个是偶数；
（2）a，b中至少有一个是3的倍数；
（3）a，b，c中至少有一个是5的倍数．

Answer 1

分析：（1）假设a、b都是奇数，根据a²+b²=c²可知c为偶数，c²为4的倍数，利用字母表示奇数a、b，推出矛盾；
（2）假设a、b都不是3的倍数，则a、b被3除余数为1或2，根据a²+b²=c²可知a²+b²被3除余数为2，即为3m+2不是完全平方式，推出矛盾；
（3）假设a、b、c都不是5的倍数，而完全平方数除以5余数只能0，1，4，根据a²+b²=c²，分析余数的几种可能，推出矛盾．

解答：证明：运用反证法证明．
（1）假设a、b都是奇数，则c为偶数，c²为4的倍数，
设a=2m+1，b=2n+1（m、n为整数），
则a²+b²=（2m+1）²+（2n+1）²=2（2m²+2n²+2m+2n+1）
为2的奇数倍，不是4的倍数，与题设矛盾，
∴a，b中至少有一个是偶数；

（2）假设a、b都不是3的倍数，则a、b被3除余数为1或2，
a²+b²被3除余数为2，即为3m+2（m为整数），
而3m+2不是完全平方式，故假设不成立，
∴a，b中至少有一个是3的倍数；

（3）假设a、b、c都不是5的倍数，
∵完全平方数除以5余数只能0，1，4，
则a²，b²，c²，被5除后余数只能是1、1、1或1、1、4或1、4、4或4、4、4，
这些都不能使a²+b²=c²成立，
∴a、b、c不能同时不整除5．

点评：本题考查了整数的整除性问题．关键是利用反证法，否定结论，利用结论的反面，推出矛盾．