Question

【题目】（1）问题发现

如图1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝50°，连接BD，CE交于点F．填空：

①的值为　 　；②∠BFC的度数为　 　．

（2）类比探究

如图2，在矩形ABCD和△DEF中，AD＝AB，∠EDF＝90°，∠DEF＝60°，连接AF交CE的延长线于点P．求的值及∠APC的度数，并说明理由；

（3）拓展延伸

在（2）的条件下，将△DEF绕点D在平面内旋装，AF，CE所在直线交于点P，若DF＝，AB＝，求出当点P与点E重合时AF的长．

Answer 1

【答案】（1）1，50°；（2），理由见解析；（3）当点P与点E重合时，AF的长为3或6，理由见解析

【解析】

（1）问题发现：由“SAS”可证△DAB≌△EAC，可得BD＝CE，∠ACE＝∠ABD，即可求解；

（2）类比探究：通过证明△ADF∽△CDE，可得，∠FAD＝DCE，即可求解；

（3）拓展延伸：过点C作CM⊥DE，由勾股定理可求CE的长，即可求AF的长．

（1）问题发现：

∵∠BAC＝∠DAE＝50°，

∴∠DAB＝∠EAC，且AB＝AC，AD＝AE

∴△DAB≌△EAC（SAS）

∴BD＝CE，∠ACE＝∠ABD

∴

∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，且∠BFC+∠FBC+∠FCB＝∠BFC+∠ABC+∠ABF+∠FCB＝∠BFC+∠ABC+∠ACB＝180°

∴∠BFC＝∠BAC＝50°

故答案为1，50°

（2）类比探究：

，∠APC＝90°

理由如下：∵∠DEF＝60°，∠FDE＝90°

∴DF＝DE，

∵四边形ABCD是矩形

∴CD＝AB，∠ADC＝90°

∴AD＝DC，∠ADC＝∠EDF＝90°

∴∠EDC＝∠ADF，且

∴△ADF∽△CDE

∴，∠FAD＝DCE

∴点A，点P，点D，点C四点共圆

∴∠APC＝∠ADC＝90°

（3）拓展延伸：

如图，过点C作CM⊥DE，交ED延长线于点M，

∵DF＝，∠DEF＝60°，∠AEC＝90°

∴DE＝1，∠CEM＝30°

∵∠CEM＝30°，CM⊥ED

∴

∵CD2＝CM2+DM2，

∴7＝+（EM﹣1）2，

∴CE＝2

∵，

∴AF＝6

如图，过点C作CM⊥DE，交DE延长线于点M，

∵DF＝，∠DEF＝60°，∠AEC＝90°

∴DE＝1，∠CEM＝30°

∵∠CEM＝30°，CM⊥ED

∴

∵CD2＝CM2+DM2，

∴7＝+（EM+1）2，

∴CE＝

∵，

∴AF＝3

综上所述：当点P与点E重合时，AF的长为3或6．