如图,已知二次函数的图像过点A(-4,3),B(4,4).
(1)求二次函数的解析式:
(2)求证:△ACB是直角三角形;
(3)若点P在第二象限,且是抛物线上的一动点,过点P作PH垂直x轴于点H,是否存在以P、H、D、为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
分析:①求二次函数的解析式,也就是要求中a、b的值,只要把A(-4,3),B(4,4)代人即可. ②求证△ACB是直角三角形,只要求出AC,BC,AB的长度,然后用 勾股定理及其逆定理去考察. ③是否存在以P、H、D、为顶点的三角形与△ABC相似?先要选择一点P 然后自P点作垂线构成Rt△PHD,把两个三角形相似作条件,运用三角形 相似的性质去构建关于P点横坐标的方程. 解:(1)将A(-4,3),B(4,4)代人中,整理得:
解得 ∴二次函数的解析式为:, 整理得: (2)由 整理 ∴X1=-2,X2= ∴C(-2,0),D 从而有:AC2=4+9 BC2=36+16 AC2+BC2=13+52=65 AB2=64+1=65 ∴AC2+BC2=AB2 故△ACB是直角三角形 (3)设(X<0) PH= HD= AC= BC= ①当△PHD∽△ACB时有: 即: 整理 ∴ (舍去)此时, ∴ ②当△DHP∽△ACB时有: 即: 整理 ∴ (舍去)此时, ∴ 综上所述,满足条件的点有两个即 点评:这是一个二次函数开放性的综合题,解决问题的思路容易建立,切入点也好找,但运算难度较大.出题的老师看准了我们的学生在学习中存在的问题,那就是每一个学生在计算时无论简单与复杂总是离不开计算器,所以遇到分数运算时没有信心进行运算,最后还是放弃了.因此在这里要提醒每一位学生在平时计算的练习中多用心算和笔算,才能提高自己的运算能力. |
知识点考察:①二次函数解析式的确定, ②勾股定理及其逆定理的应用, ③相似三角形的性质, ④坐标系中点的坐标的特征, ⑤抛物线与X轴的交点,⑥一元二次方程的解法, ⑦垂直的定义. ⑧二元一次方程组的解法. 能力考察:①观察能力,②逻辑思维与推理能力,③书写表达能力, ④综合运用知识的能力,⑤分类讨论的能力.⑥动点的探求能力 ⑦准确的计算能力. |
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