Question

如图，△ABC中AC=BC，D为边AB上的一点，且∠BCD=3∠ACD，O为AC上一点，以O为圆心的⊙O恰好经过C、D两点．
（1）求证：直线AB为⊙O的切线；
（2）若BD=4，AD=2，求⊙O的半径．

Answer 1

解：（1）连接OD，过C作CM⊥AB，如图所示：

∵CA=CB，又CM⊥AB，
∴CM平分∠ACB，
又∠BCD=3∠ACD，设∠BCD=3x，∠ACD=x，
∴∠ACM=2x，
∴∠DCM=∠ACM-∠ACD=x，
又OC=OD，∴∠ODC=∠ACD=x，
∴∠ODC=∠DCM，
∴OD∥CM，又∠AMC=90°，
∴∠ADO=90°，即OD⊥AD，
∴AB为圆O的切线；

（2）∵CA=CB，又CM⊥AB，
∴M为AB的中点，即AM=BM，
又AD=2，BD=4，
∴AM=AB=3，则DM=AM-AD=3-2=1，
过D作DN⊥AC，
∵∠ACD=∠MCD，又DM⊥MC，DN⊥AC，
∴DM=DN=1，
在直角三角形ADN，DM=1，AD=2，
∴∠A=30°，
在直角三角形AOD中，
tanA=，即tan30°=，
∴OD=2×=．
分析：（1）连接OD，过C作CM垂直于AB，由AC=BC，根据三线合一得到CM为顶角∠ACB的平分线，又∠BCD=3∠ACD，设∠ACD=x，可得∠BCD=3x，进而得到∠ACB=4x，根据角平分线定义可得∠ACM=2x，再用∠ACM-∠ACD可得∠DCM=x，再根据半径OC=OD，利用等边对等角，可得一对内错角相等，根据内错角相等两直线平行得OD与CM平行，有CM与AB垂直可得OD与AB垂直，可得AB为圆O的切线；
（2）由AC=BC，且CM为底边上的高，根据三线合一得到M为AB的中点，再由AD及BD的值求出AB的值，进而求出AM的值，可求出DM的值为1，过D作DN垂直AC，由（1）得到CD为∠ACM的平分线，根据角平分线定理得到DM=DN，可得DN的值为1，在直角三角形ADN中，由DN=1，斜边AD=2，可得∠A为30°，在直角三角形AOD中，根据正切的定义，tanA等于对边OD比邻边AD，利用特殊角的三角函数值及AD的长即可求出半径OD的长．
点评：此题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，角平分线定理，平行线的性质，锐角三角函数，以及直角三角形的性质，判定切线的方法为：有点连接证垂直；无点过圆心作垂线，证明垂线段长等于半径，根据题意作出相应的辅助线是解本题的关键．