Question

分式方程

ax

x-2

+

1

x

+

x+a

x(x-2)

=0有且仅有一个实根，求a的值．

Answer 1

分析：先去分母，将方程两边同乘以x（x-2），整理得ax²+2x+（a-2）=0．由于原分式方程有且仅有一个实根，那么分两种情况讨论：（1）当a≠0时，原方程为一元二次方程．此时，又分两种情况．①如果△＞0，当有一根是0或2，另外一根使x（x-2）≠0；②如果△=0，此时一元二次方程有两相等的实数根，此二等根使x（x-2）≠0．（2）当a=0时，原方程为一元一次方程，此一元一次方程的根使x（x-2）≠0．针对每一种情况，分别求出a的值即可．

解答：解：方程两边同乘以x（x-2），
得ax²+x-2+x+a=0，
整理得ax²+2x+（a-2）=0．
分如下两种情况：
（1）当a≠0时，原方程为一元二次方程．
①如果△＞0，当有一根是0或2，另外一根使x（x-2）≠0时，原分式方程有且仅有一个实根．
当x=0时，原方程为a×0²+2×0+a-2=0，解得a=2，
解方程2x²+2x=0，得x₁=0，x₂=-1；
当x=2时，原方程为a×2²+2×2+a-2=0，解得a=-

2

5

，
解方程-

2

5

x²+2x-

2

5

-2=0，得x₁=2，x₂=3．
∴a=2或-

2

5

．
②如果△=0，此时一元二次方程有两相等的实数根，当此二等根使x（x-2）≠0时，原分式方程有且仅有一个实根．
由4-4a（a-2）=0，解得a=1±

2

．
当a=1±

2

时，原方程的根为x=1-

2

或1+

2

．
∴a=1±

2

．
（2）当a=0时，原方程为一元一次方程．
解方程2x-2=0，得x=1．
当x=1时，x（x-2）≠0时，原分式方程有且仅有一个实根．
综上所述，a=2或-

2

5

或1±

2

或0．

点评：本题考查了分式方程的解法及增根问题．由于原分式方程去分母后，得到一个含有字母系数的方程，所以要分情况进行讨论．理解分式方程产生增根的原因从而正确分类是解题的关键．本题难度较大，属于竞赛题型．