Question

16．点P到∠AOB的距离定义如下：点Q为∠AOB的两边上的动点，当PQ最小时，我们称此时PQ的长度为点P到∠AOB的距离，记为d（P，∠AOB）．特别的，当点P在∠AOB的边上时，d（P，∠AOB）=0．在平面直角坐标系xOy中，A（4，0）．
（1）如图1，若M（0，2），N（-1，0），则d（M，∠AOB）=1，d（N，∠AOB）=1；
（2）在正方形OABC中，点B（4，4）．
①如图2，若点P在直线y=3x+4上，且d（P，∠AOB）=2$\sqrt{2}$，求点P的坐标；
②如图3，若点P在抛物线y=x²-4上，满足d（P，∠AOB）=2$\sqrt{2}$的点P有4个，请你画出示意图，并标出点P．

Answer 1

分析 （1）根据M（0，2），∠AOB=60°，得出d（M，∠AOB）=$\frac{1}{2}$OM=1；再根据N（-1，0），得出d（N，∠AOB）=ON=1；
（2）先设P（x，3x+4），当点P在$\widehat{EF}$上时，根据勾股定理列出方程x²+（3x+4）²=8，求得x的值即可；当点P在射线FG上时，根据P到射线OB的距离为$2\sqrt{2}$，得出点C到OB的距离为$2\sqrt{2}$，最后根据点P与点C重合得出结论；
（3）根据点P在抛物线y=x²-4上，满足d（P，∠AOB）=2$\sqrt{2}$，画出与OB距离为2$\sqrt{2}$的平行线，与x轴距离为2$\sqrt{2}$的平行线以及以O为圆心，2$\sqrt{2}$长为半径的弧线，与抛物线的交点即为所求．

解答 解：（1）∵M（0，2），∠AOB=60°，
∴d（M，∠AOB）=$\frac{1}{2}$OM=1；
∵N（-1，0），
∴d（N，∠AOB）=ON=1；
故答案为：1；1．

（2）①如图，当点P在$\widehat{EF}$上时，OP=$2\sqrt{2}$，
设P（x，3x+4），则
x²+（3x+4）²=8，
解得${x_1}=-2，{x_2}=-\frac{2}{5}$（舍），
∴P（-2，-2）；
点P在射线FG上时，P到射线OB的距离为$2\sqrt{2}$，
∵点C到OB的距离为$2\sqrt{2}$，
∴点P与点C重合，
∴P（0，4），
综上所述，P（-2，-2）或（0，4）．

②如图所示，点P有4个．

点评 本题主要考查了二次函数的综合应用，解决问题的关键是掌握点P到∠AOB的距离定义，解题时注意灵活运用等腰直角三角形的性质以及勾股定理．解题时注意：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．