【题目】在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2﹣x+4与x轴交于A、B两点(A点在B点左侧),与y轴交于点C,且点B的坐标为(4,0),点E(m,0)为x轴上的一个动点,过点E作直线l⊥x轴,与抛物线y=ax2﹣x+4交于点F,与直线AC交于点G.
(1)分别求抛物线y=ax2﹣x+4和直线AC的函数表达式;
(2)当﹣8<m<0时,求出使线段FG的长度为最大值时m的值;
(3)如图2,作射线OF与直线AC交于点P,请求出使FP:PO=1:2时m的值.
【答案】(1)y=;(2)当m=﹣4时,FG有最大值,最大值为2;(3)m的值为﹣4或﹣4﹣4或﹣4+4.
【解析】
(1)根据待定系数法求出抛物线的解析式,再根据抛物线的解析式求得A、C的坐标,再根据待定系数法求出直线AC的函数表达式即可;
(2)由点E的坐标为(m,0),可得点F的坐标为(m,﹣m2﹣+4),G(m, m+4),从而得到FG与m的函数关系式,然后依据配方法求得FG的最大值,以及m的取值即可;
(3)①先证明△PEG∽△POC,由相似三角形的性质可求得FG=2,由(2)可知此时m的取值;②如图,当G点在F点上方时,证明△FGP∽△OCP,再根据相似三角形的性质求出此时m的取值.
(1)∵将B(4,0)代入抛物线的解析式得:16a﹣2+4=0,解得:a=﹣,
∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣.
∵令y=0得;﹣x2﹣=0,解得;x1=﹣8,x2=4,
∴A(﹣8,0).
∵令x=0得:y=4,
∴C(0,4).
设直线AC的解析式为y=kx+b
∵将点A、C的坐标代入得:,解得:k=,b=4,
∴直线AC的解析式为y=.
(2)∵点E的坐标为(m,0),
∴点F的坐标为(m,﹣m2﹣+4),G(m, m+4).
∴FG=﹣m2﹣+4﹣(m+4)=m2﹣m=﹣(m+4)2+2.
∴当m=﹣4时,FG有最大值,最大值为2.
(3)①∵FG∥OC,
∴△PEG∽△POC.
∴.
∴时,FP:PO=1:2.
∴.
∴FG=2.
由(2)可知当m=﹣4时,FG有最大值,最大值为GF=2.
∴m=﹣4.
②如图,当G点在F点上方时,
∵FG∥CO,
∴∠GFP=∠COP,
∵∠FGP=∠OPC,
∴△FGP∽△OCP,
∴==,
∵CO=4,
∴FG=2,
∵G点在F点上方,
∴FG=(m+4)﹣(﹣m2﹣+4)=m2+,
∴m2+=2,
解得m=﹣4±4.
综上所述,m的值为﹣4或﹣4﹣4或﹣4+4.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,函数(x>0)的图象与直线l1:交于点A,与直线l2:x=k交于点B.直线l1与l2交于点C.
(1) 当点A的横坐标为1时,则此时k的值为 _______;
(2) 横、纵坐标都是整数的点叫做整点. 记函数(x>0) 的图像在点A、B之间的部分与线段AC,BC围成的区域(不含边界)为W.
①当k=3时,结合函数图像,则区域W内的整点个数是_________;
②若区域W内恰有1个整点,结合函数图象,直接写出k的取值范围:___________.
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【题目】某商店老板准备购买A、B两种型号的足球共100只,已知A型号足球进价每只40元,B型号足球进价每只60元.
(1)若该店老板共花费了5200元,那么A、B型号足球各进了多少只;
(2)若B型号足球数量不少于A型号足球数量的,那么进多少只A型号足球,可以让该老板所用的进货款最少?
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【题目】阅读下列材料,并按要求完成相应的任务.
任务:
(1)如图2,是5×5的正方形网格,且小正方形的边长为1,利用“皮克定理”可以求出图中格点多边形的面积是 ;
(2)已知:一个格点多边形的面积S为15,且边界上的点数b是内部点数a的2倍,则a+b= ;
(3)请你在图3中设计一个格点多边形(要求:①格点多边形的面积为8;②格点多边形是一个轴对称图形但不是中心对称图形)
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【题目】体育老师为了解本校九年级女生1分钟“仰卧起坐”体育测试项目的达标情况,从该校九年级136名女生中,随机抽取了20名女生,进行了1分钟仰卧起坐测试,获得数据如下:
收集数据:抽取20名女生的1分钟仰卧起坐测试成绩(个)如下:
38 46 42 52 55 43 59 46 25 38
35 45 51 48 57 49 47 53 58 49
(1)整理、描述数据:请你按如下分组整理、描述样本数据,把下列表格补充完整:
范围 | |||||||
人数 |
(说明:每分钟仰卧起坐个数达到49个及以上时在中考体育测试中可以得到满分)
(2)分析数据:样本数据的平均数、中位数、满分率如下表所示:
平均数 | 中位数 | 满分率 |
46.8 | 47.5 |
得出结论:①估计该校九年级女生在中考体育测试中1分钟“仰卧起坐”项目可以得到满分的人数;
②该中心所在区县的九年级女生的1分钟“仰卧起坐”总体测试成绩如下:
平均数 | 中位数 | 满分率 |
45.3 | 49 |
请你结合该校样本测试成绩和该区县总体测试成绩,为该校九年级女生的1分钟“仰卧起坐”达标情况做一下评估.
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【题目】近年来,随着互联网经济的兴起和发展,人们的购物模式发生了改变,支付方式除了现金支付外,还有微信、支付宝、银行卡等,在一次购物中,小明和小亮都想从微信(记为)、支付宝(记为)、银行卡(记为)三种支付方式中选择一种方式进行支付.
(1)小明从微信、支付宝、银行卡三种支付方式中选择一种方式进行支付,选择用微信支付的概率为________;
(2)请用画树状图或列表的方法,求小明和小亮恰好选择同一种支付方式的概率.
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【题目】已知:在平面直角坐标系xOy中,抛物线经过点A(5,0)、B(-3,4),抛物线的对称轴与x轴相交于点D.
(1)求抛物线的表达式;
(2)联结OB、BD.求∠BDO的余切值;
(3)如果点P在线段BO的延长线上,且∠PAO =∠BAO,求点P的坐标.
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【题目】杨华与季红用5张同样规格的硬纸片做拼图游戏,正面如图1所示,背面完全一样,将它们背面朝上搅匀后,同时抽出两张.规则如下:当两张硬纸片上的图形可拼成电灯或小人时,杨华得1分;当两张硬纸片上的图形可拼成房子或小山时,季红得1分(如图2).问题:游戏规则对双方公平吗?请说明理由;若你认为不公平,如何修改游戏规则才能使游戏对双方公平?
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