Question

如图，点P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，AP=CQ，PQ交AC于D，
（1）求证：DP=DQ；
（2）过P作PE⊥AC于E，若BC=4，求DE的长．

Answer 1

分析：（1）过点P作PM∥BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠DPM=∠Q，判断出△APM是等边三角形，根据等边三角形的性质可得AP=PM，然后求出PM=CQ，再利用“角角边”证明△DPM和△DQC全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）根据全等三角形对应边相等可得DM=DC，根据等腰三角形三线合一的性质可得AE=EM，然后求出DE=

1

2

AC，代入数据进行计算即可得解．

解答：（1）证明：如图，过点P作PM∥BC，则∠DPM=∠Q，
∵△ABC为等边三角形，
∴△APM是等边三角形，
∴AP=PM，
又∵AP=CQ，
∴PM=CQ，
在△DPM和△DQC中，

∠DPM=∠Q ∠PDM=∠QDC PM=CQ

，
∴△DPM≌△DQC（AAS），
∴DP=DQ；

（2）∵△DPM≌△DQC，
∴DM=DC，
∵PE⊥AC，△APM是等边三角形，
∴AE=EM，
∴DE=DM+EM=

1

2

AC，
∵等边三角形ABC的边BC=4，
∴AC=4，
∴DE=

1

2

×4=2．

点评：本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，作辅助线构造出等边三角形和全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．