Question

如图，已知经过原点的抛物线y=-2x²+4x与x轴的另一交点为A，现将它向右平移m（m＞0）个单位，所得抛物线与x轴交于C、D两点，与原抛物线交于点P．
（1）求点A的坐标，并判断△PCA存在时它的形状（不要求说理）；
（2）在x轴上是否存在两条相等的线段？若存在，请一一找出，并写出它们的长度（可用含m的式子表示）；若不存在，请说明理由；
（3）设△CDP的面积为S，求S关于m的关系式．

Answer 1

分析：（1）令原抛物线的解析式中y=0，即可求得A点的坐标；
很显然P点位于线段AC的垂直平分线上，由此可判定△PAC是等腰三角形；
（2）根据平移的性质知：AO=CD=2，OC=AD=m；
（3）求△CDP的面积需要知道两个条件：底边CD及CD边上的高PH（过P作PH⊥x轴于H）；
因此本题要分两种情况讨论：①0＜m＜2时，P点在x轴上方；②m＞2时，P点位于x轴下方；
可分别表示出两种情况的CH的长即P点横坐标，根据抛物线的解析式即可得到P点的纵坐标；以CD为底，P点纵坐标的绝对值为高即可得到关于S、m的函数关系式．

解答：解：（1）令-2x²+4x=0，
得x₁=0，x₂=2
∴点A的坐标为（2，0）
△PCA是等腰三角形．

（2）存在．
OC=AD=m，OA=CD=2．

（3）如图，当0＜m＜2时，作PH⊥x轴于H，
设P（x_P，y_P）
∵A（2，0），C（m，0）
∴AC=2-m，
∴CH=

AC

2

=

2-m

2

∴x_P=OH=m+

2-m

2

=

m+2

2

把x_P=

m+2

2

代入y=-2x²+4x，
得y_P=-

1

2

m²+2
∵CD=OA=2
∴S=

1

2

CD•HP=

1

2

•2•（-

1

2

m²+2）=-

1

2

m²+2
如图，当m＞2时，作PH⊥x轴于H，
设P（x_P，y_P）
∵A（2，0），C（m，0）
∴AC=m-2，
∴AH=

m-2

2

∴x_P=OH=2+

m-2

2

=

m+2

2

把x_P=

m+2

2

代入y=-2x²+4x，得
y_P=-

1

2

m²+2
∵CD=OA=2
∴S=

1

2

CD•HP=

1

2

•2•(-yP)=

1

2

m²-2．
综上可得：S=

- 1 2 m2+2(0＜m＜2) 1 2 m2-2(m＞2)

．

点评：此题考查了二次函数图象与坐标轴交点坐标的求法、平移的性质以及三角形面积的求法等知识，需注意的是（3）题要根据m的取值范围分段讨论，以免造成漏解、错解．