Question

【题目】如图，点在以线段为直径的圆上，且，点在上，且于点，是线段的中点，连接、.

（1）若，，求的长；

（2）求证：．

Answer 1

【答案】（1）5 ； （2）见解析

【解析】

（1）利用圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系得到∠ACB=90°，且AC=BC，则∠A=45°，再证明△ADE为等腰直角三角形，所以AE=DE=6，接着利用勾股定理计算出BC，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得到EF的长；

（2）如图，连接CF，利用圆周角定理得到∠BED=∠AED=∠ACB=90°，再根据直角三角形斜边上的中线性质得CF=EF=FB=FD，利用圆的定义可判断B、C、D、E在以BD为直径的圆上，根据圆周角定理得到∠EFC=2∠EBC=90°，然后利用△EFC为等腰直角三角形得到．

解：（1）∵点在以线段为直径的圆上，且

∴，且

∵，，，

∴，

在中，

∵，，

∴，

又∵是线段的中点，

∴；

（2）如图，连接，

线段与之间的数量关系是；

∵，

∵点是的中点，

∴，

∵，，

∴，

同理，

∴，

即，

∴；