Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD为∠CAB的平分线，点O在AB上，⊙O经过点A，D两点，与AC，AB分别交于点E，F

（1）求证：BC与⊙O相切；

（2）若AC＝8，AF＝10，求AD和BC的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）AD＝， .

【解析】

（1）连接OD．根据等腰三角形的性质得到∠ODA＝∠OAD．根据角平分线的定义得到∠CAD＝∠BAD．根据平行线的性质得到∠ODB＝∠ACB＝90°，于是得到结论；

（2）连接DF．根据圆周角定理得到∠ADF＝90°，根据相似三角形的性质得到AD＝，由勾股定理得到CD＝＝4．根据相似三角形的性质即可得到结论．

（1）证明：连接OD．

∵OA＝OD，

∴∠ODA＝∠OAD．

又∵AD平分∠CAB，

∴∠CAD＝∠BAD．

∴∠ODA＝∠CAD，

∴OD∥AC，

∴∠ODB＝∠ACB＝90°，

∴OD⊥BC，

∴BC与⊙O相切；

（2）解：连接DF．

∵AF为直径，

∴∠ADF＝90°，

∴∠ACD＝∠ADF．

又∵∠CAD＝∠FAD，

∴△CAD∽△DAF，

∴，

∴AD2＝CAAF＝80，

∴AD＝，

在Rt△ACD中，CD＝＝4．

∵OD∥AC，

∴△BOD∽△BAC，

∴，

∴，

∴BC＝．