Question

如图，Rt△ABC中，∠C=Rt∠，BC=5．⊙O内切Rt△ABC的三边AB，BC，CA于D，E，F，半径r=2．求△ABC的周长．

Answer 1

解：根据切线长定理，得BD=BE，CE=CF，AD=AF．
连接OE，OF，则OE⊥BC，OF⊥AC；
∴四边形OECF是矩形，
又∵OE=OF，
∴矩形OECF是正方形，
∴CE=CF=r=2．
又∵BC=5，
∴BE=BD=3．
设AF=AD=x，根据勾股定理，得
（x+2）²+25=（x+3）²，
解得x=10．
则AC=12，AB=13．
即△ABC的周长是5+12+13=30．
分析：根据切线的性质定理可以证明四边形OECF是正方形，再根据直角三角形的内切圆的半径求得CE的长；进而由BC的长求得BE的长，最后根据切线长定理和勾股定理求得AD，AF的长，再进一步计算其周长．
点评：此题综合运用了切线长定理、勾股定理以及正方形的判定和性质．