Question

（已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD>AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连结AF和CE。

（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm²，求△ABF的周长；
（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE²=AC·AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由。

Answer 1

(1)见解析；（2）24cm；（3）存在，过E作EP⊥AD交AC于P，则P就是所求的点，证明见解析.

试题分析：（1）由四边形ABCD是矩形与折叠的性质，易证得△AOE≌△COF，即可得AE=CF，则可证得四边形AFCE是平行四边形，又由AC⊥EF，则可证得四边形AFCE是菱形；
由已知可得：S△ABF=AB•BF=24cm²，则可得AB²+BF²=（AB+BF）²-2AB•BF=（AB+BF）²-2×48=AF²=100（cm²），则可求得AB+BF的值，继而求得△ABF的周长．
过E作EP⊥AD交AC于P，则P就是所求的点，首先证明四边形AFCE是菱形，然后根据题干条件证明△AOE∽△AEP，列出关系式．
试题解析：
（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，
由折叠的性质可得：OA=OC，AC⊥EF，
在△AOE和△COF中，
∵ ，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AFCE是菱形；
（2）∵四边形AFCE是菱形，
∴AF=AE=10cm，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∴S△ABF=AB•BF=24cm²，
∴AB•BF=48（cm²），
∴AB²+BF²=（AB+BF^）2-2AB•BF=（AB+BF）²-2×48=AF²=100（cm²），
∴AB+BF=14（cm）
∴△ABF的周长为：AB+BF+AF=14+10=24（cm）．
（3）证明：过E作EP⊥AD交AC于P，则P就是所求的点．
当顶点A与C重合时，折痕EF垂直平分AC，
∴OA=OC，∠AOE=∠COF=90°，
∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF
∴四边形AFCE是菱形．
∴∠AOE=90°，又∠EAO=∠EAP，
由作法得∠AEP=90°，
∴△AOE∽△AEP，
∴，则AE²=A0•AP，
∵四边形AFCE是菱形，
∴AO＝AC，
∴AE²=AC•AP，
∴2AE²=AC•AP．