Question

1．如图，在△ABC和△DBE中，$\frac{AB}{DB}$=$\frac{BC}{BE}$=$\frac{5}{3}$，且∠DBA=∠CBE．
（1）若△ABC与△DBE的周长之差为10cm，求△ABC的周长；
（2）若△ABC与△DBE的面积之和为170cm²，求△DBE的面积．

Answer 1

分析 （1）根据相似三角形的判定得到△ABC∽△BDE，由相似三角形的性质得到△ABC的周长和△DBE的周长的比值，再结合已知条件△ABC与△DBE的周长之差为10cm，即可求出△ABC的周长；
（2）根据相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方，可求得S_△ABC：S_△BDE的值，再根据已知条件△ABC与△DBE的面积之和为170cm²，即可求出△DBE的面积．

解答 解：
（1）设DE与BC相交于点F，
∵∠DBA=∠CBE，
∴∠BDA+∠DBF=∠CBE+∠BDF，
∴∠ABC=∠EBD，
∵$\frac{AB}{DB}$=$\frac{BC}{BE}$=$\frac{5}{3}$，
∴△ABC∽△BDE，
∴△ABC的周长：△DBE的周长=5：3，
∴△ABC的周长=$\frac{5}{3}$△DBE的周长，
∵△ABC和△DBE的周长之差为10cm，
∴△ABC的周长-△DBE的周长=$\frac{2}{3}$△DBE的周长=10，
∴△DBE的周长=15cm，
∴△ABC的周长=25cm；
（2）∵△ABC∽△BDE，
∴$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△BDE}}$=（$\frac{5}{3}$）²=$\frac{25}{9}$，
∴S_△ABC=$\frac{25}{9}$S_△BDE，
∵△ABC和△DBE的面积之和为170cm²，
∴$\frac{34}{9}$S_△BDE=170，
∴S_△DBE=45cm²．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的面积和周长的计算，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．