Question

20．【问题提出】已知∠AOB=70°，∠AOD=$\frac{1}{2}$∠AOC，∠BOD=3∠BOC（∠BOC＜45°），求∠BOC的度数．
【问题思考】聪明的小明用分类讨论的方法解决．
（1）当射线OC在∠AOB的内部时，①若射线OD在∠AOC内部，如图1，可求∠BOC的度数，解答过程如下：设∠BOC=α，∴∠BOD=3∠BOC=3α，∴∠COD=∠BOD-∠BOC=2α，∴∠AOD=$\frac{1}{2}$∠AOC，
∴∠AOD=∠COD=2α，∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=2α+3α=5α=70°，∴α=14°，∴∠BOC=14°
问：当射线OC在∠AOB的内部时，②若射线OD在∠AOB外部，如图2，请你求出∠BOC的度数；
【问题延伸】（2）当射线OC在∠AOB的外部时，请你画出图形，并求∠BOC的度数．
【问题解决】综上所述：∠BOC的度数分别是14°，30°，10°或42°．

Answer 1

分析 根据题意和小明的分析，可以得到符合要求的还有三种情况，然后针对存在的三种情况，画出相应的图形，然后进行计算，即可得到∠BOC的度数，从而可以解答本题．

解答 解：（1）②如下图2所示，

设∠BOC=α，则∠BOD=3α，∠COD=∠BOD-∠BOC=2α，
∵∠AOD=$\frac{1}{2}$∠AOC，
∴∠AOD=$\frac{1}{3}$∠COD=$\frac{2}{3}α$，
∴∠AOB=∠BOD-∠AOD=3α$-\frac{2α}{3}$=$\frac{7α}{3}$=70°，
∴α=30°．
∴∠BOC=30°；
（2）当射线OC在∠AOB外部时，根据题意，此时射线OC靠近射线OB，
∵∠BOC＜45°，∠AOD=$\frac{1}{2}$∠AOC，
∴射线OD的位置也只有两种可能；
①若射线OD在∠AOB内部，如图3所示，

∵∠COD=∠BOC+∠BOD=4α，
∴∠AOB=∠BOD+∠AOD=3α+4α=7α=70°，
∴α=10°，
∴∠BOC=10°；
②若射线OD在∠AOB外部，如图4所示，

∵∠COD=∠BOC+∠BOD=4α，∠AOD=$\frac{1}{2}$∠AOC，
∴∠AOD=$\frac{1}{3}$∠COD=$\frac{4}{3}$α，
∴∠AOB=∠BOD-∠AOD=3α-$\frac{4}{3}α$=$\frac{5}{3}α$=70°，
∴α=42°，
∴∠BOC=42°；
由上可得，∠BOC的度数分别是14°，30°，10°，42°．
故答案为：14°，30°，10°或42°．

点评 本题考查角的计算，解题的关键是明确题意，利用数形结合和分类讨论的数学思想解答问题．