Question

5．（1）如图①，正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接AE交对角线BD于F，线段DF于BF的数量关系是DF=2BF；
（2）如图②，在正方形ABCD中，点E、G分别是边BC、AB的中点，连接AE、DG、DG与AE交于H，求$\frac{DH}{HG}$的值；
（3）如图③，在正六边形ABCDEF中，点H、G分别是AB、BC的中点，连接AG、FH、FB，FB与AG相交与M，FH与AG相交与N，请直接写出$\frac{FN}{NH}$的值．

Answer 1

分析 （1）由正方形得对边平行，由平行得△ADF∽△EBF，列比例式可得DF=2BF；
（2）如图②，延长DC、AB交于M，先证明△CEM≌△BEA，CM=AB，即DM=2AB，再证明△DHM∽△GHA，列比例式可得结论；
（3）如图③，作辅助线，构建相似三角形，同理证明△CGO≌△BGA，列比例式可得所求的比值．

解答 解：（1）如图①，∵四边形ABCD为正方形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵E是BC的中点，
∴BC=2BE，
∵AD∥BC，
∴△ADF∽△EBF，
∴$\frac{DF}{BF}=\frac{AD}{BE}$，
∴$\frac{DF}{BF}=\frac{BC}{BE}$=$\frac{2}{1}$，
∴DF=2BF；
故答案为：DF=2BF；
（2）如图②，延长DC、AE交于M，
∵DC∥AB，
∴∠ABC=∠ECM，∠M=∠EAB，
∵CE=BE，
∴△CEM≌△BEA，
∴CM=AB，
∵G是AB的中点，
∴AG=BG，
设AG=x，则AB=2x，DM=4x，
∵DM∥AB，
∴△DHM∽△GHA，
∴$\frac{DM}{AG}=\frac{DH}{HG}$，
∴$\frac{4x}{x}$=$\frac{DH}{HG}$，
∴$\frac{DH}{HG}$=4；
（3）如图③，连接FC并延长，交AG的延长线于O，过B作BP⊥OF于P，过E作EQ⊥OF于Q，
在正六边形ABCDEF中，
∴∠ABC=180°-$\frac{360°}{6}$=120°，AB=BC，
∴∠PBC=120°-90°=30°，∠FCB+∠ABC=180°，
∴FC∥AB，PC=$\frac{1}{2}$BC，
同理FQ=$\frac{1}{2}$EF，
∵点H、G分别是AB、BC的中点，
∴AH=BH=$\frac{1}{2}$AB，BG=CG=$\frac{1}{2}$BC，
设AH=x，则BC=AB=2x，
∴FC=4x，
∵FC∥AB，
∴∠O=∠GAB，
∵BG=CG，∠CGO=∠BGA，
∴△CGO≌△BGA，
∴CO=AB=2x，
∴OF=6x，
∵OF∥AB，
∴△FNO∽△HNA，
∴$\frac{FN}{NH}=\frac{OF}{AH}$=$\frac{6x}{x}$，
∴$\frac{FN}{NH}$=6．

点评 本题是四边形的综合题，考查了正方形、正六边形的性质、平行相似的判定，本题的关键是作辅助线，构建平行相似的三角形；同时还运用了类比的思想，通过问题1的解决，启发了第2个和第3个问题的思路，利用作辅助线的方式使问题得以解决．