分析 (1)根据题中的结论得到m+$\frac{3}{m}$≥2$\sqrt{m•\frac{3}{m}}$,当m=$\frac{3}{m}$时,m+$\frac{3}{m}$有最小值,然后计算m的值和代数式的最小值;
(2)设矩形水池的一边为xm,则另一边为(10-x)m,利用体积公式得到水池的容积V=3•x•(10-x)=-3x2+30x,然后根据二次函数的性质解决问题;
(3)根据反比例函数图象上点的坐标特征,设P(x,-$\frac{6}{x}$),则AC=-$\frac{6}{x}$+4,DB=6-x,利用三角形面积公式得到四边形ABCD的面积S=-$\frac{18}{x}$-2x+15,接着利用题中的结论得到-$\frac{18}{x}$-2x≥6,当-$\frac{18}{x}$=-2x时,-$\frac{18}{x}$-2x有最小值为6,可解得x=-3,然后写出A、B点的坐标.
解答 解:(1)m+$\frac{3}{m}$≥2$\sqrt{m•\frac{3}{m}}$,即m+$\frac{3}{m}$≥2$\sqrt{3}$,当m=$\frac{3}{m}$时,m+$\frac{3}{m}$有最小值2$\sqrt{3}$,此时m=$\sqrt{3}$;
故答案为$\sqrt{3}$,2$\sqrt{3}$;
(2)设矩形水池的一边为xm,则另一边为(10-x)m,
则水池的容积V=3•x•(10-x)=-3x2+30x,
当x=-$\frac{30}{2×(-3)}$=15,
V的最大值=$\frac{0-3{0}^{2}}{4×(-3)}$=75,
即矩形水池的长宽相等,都为15m时,水池的容积最大,最大容积为75m3;
(3)设P(x,-$\frac{6}{x}$),则AC=-$\frac{6}{x}$+4,DB=6-x,
四边形ABCD的面积S=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$•(-$\frac{6}{x}$+4)(6-x)=-$\frac{18}{x}$-2x+15,
∵-$\frac{18}{x}$-2x≥$\sqrt{-\frac{18}{x}•(-2x)}$,即-$\frac{18}{x}$-2x≥6,当-$\frac{18}{x}$=-2x时,-$\frac{18}{x}$-2x有最小值为6,此时x=-3,
∴四边形ABCD的面积的最小值为6+15=21,此时A(0,2),B(-3,0).
点评 本题考查了反比例函数的综合题:熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质;理解坐标与图形性质;能正确使用题中的有关不等式的结论解决最值问题.
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