Question

如图所示，⊙O沿着凸n边形A₁A₂A₃…A_n-1A_n的外侧（圆和边相切）作无滑动的滚动一周回到原来的位置．
（1）当⊙O和凸n边形的周长相等时，证明：⊙O自身转动了两圈；
（2）当⊙O的周长是a，凸n边形的周长是b时，请写明此时⊙O自身转动的圈数．

Answer 1

分析：（1）根据圆自身转动的圈数=线段的长度÷圆的周长，设∠A₂A₁A_n为钝角，可证明⊙O滚动经过顶点A₁自身转动的角度恰好等于顶点A₁的一个外角．即当⊙O和凸n边形的周长相等时，证明⊙O自身转动了两圈；
（2）有上面的结果，可得⊙O自身转动的圈数是(

b

a

+1)圈．

解答：（1）证明：一个圆沿着线段的一个端点无滑动地滚动到另一个端点，圆自身转动的圈数=（线段的长度÷圆的周长），因此若不考虑⊙O滚动经过n个顶点的情况，则⊙O自身恰好转动了一圈，现证明，当⊙O在某边的一端，滚动经过该端点（即顶点）时，⊙O自身转动的角度恰好等于n边形在这个顶点的一个外角．
如图所示，设∠A₂A₁A_n为钝角，已知A_nA₁是⊙O的切线，⊙O滚动经过端点A₁后到⊙O′的位置，此时A₁A₂是⊙O′的切线，因此OA⊥A_nA₁，O′A₁⊥A₁A₂，当⊙O转动至⊙O′时，则∠γ就是⊙O自身转动的角．
∵∠γ+∠β=90°，∠α+∠β=90°，∴∠γ+∠α，即⊙O滚动经过顶点A₁自身转动的角度恰好等于顶点A1的一个外角．对于顶点是锐角或直角的情况，类似可证（注：只证明直角的情况）
∵凸n边形的外角和为360°
∴⊙O滚动经过n个顶点自身又转动一圈．

（2）解：由（1）可得，⊙O自身转动的圈数是(

b

a

+1)圈．

点评：本题考查了弧长公式的实际应用，有一定的难度，要仔细考虑．