Question

20．如图，BD是△ABC的角平分线，它的垂直平分线分别交AB，BD，BC于点E，F，G，连接ED，DG．
（1）请判断四边形EBGD的形状，并说明理由．
（2）若∠ABC=30°，∠C=45°，ED=$4\sqrt{6}$，点H是BD上的一个动点，求HG+HC的最小值．

Answer 1

分析 （1）结论四边形EBGD是菱形．只要证明BE=ED=DG=GB即可．
（2）作EM⊥BC于M，DN⊥BC于N，连接EC交BD于点H，此时HG+HC最小，在Rt△EMC中，求出EM、MC即可解决问题．

解答 解：四边形EBGD是菱形．
理由：∵EG垂直平分BD，
∴EB=ED，GB=GD，
∴∠EBD=∠EDB，
∵∠EBD=∠DBC，
∴∠EDF=∠GBF，
在△EFD和△GFB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EDF=∠GBF}\\{∠EFD=∠GFB}\\{DF=BF}\end{array}\right.$，
∴△EFD≌△GFB，
∴ED=BG，
∴BE=ED=DG=GB，
∴四边形EBGD是菱形；

（2）作EM⊥BC于M，DN⊥BC于N，连接EC交BD于点H，此时HG+HC最小，
在Rt△EBM中，∵∠EMB=90°，∠EBM=30°，EB=ED=4$\sqrt{6}$，
∴EM=$\frac{1}{2}$BE=2$\sqrt{6}$，
∵DE∥BC，EM⊥BC，DN⊥BC，
∴EM∥DN，EM=DN=2$\sqrt{6}$，MN=DE=4$\sqrt{6}$，
在Rt△DNC中，∵∠DNC=90°，∠DCN=45°，
∴∠NDC=∠NCD=45°，
∴DN=NC=2$\sqrt{6}$，
∴MC=4$\sqrt{6}$+2$\sqrt{6}$=6$\sqrt{6}$，
在Rt△EMC中，∵∠EMC=90°，EM=2$\sqrt{6}$．MC=6$\sqrt{6}$，
∴EC=$\sqrt{E{M}^{2}+M{C}^{2}}$=4$\sqrt{15}$
∵HG+HC=EH+HC=EC，
∴HG+HC的最小值为4$\sqrt{15}$．

点评 本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、角平分线的性质、垂直平分线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用对称找到点H的位置，属于中考常考题型．