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如图,已知抛物线过点A(0,6),B(2,0),C(7,).
(1)求抛物线的解析式;
(2)若D是抛物线的顶点,E是抛物线的对称轴与直线AC的交点,F与E关于D对称,求证:∠CFE=∠AFE;
(3)在y轴上是否存在这样的点P,使△AFP与△FDC相似?若有请求出所有符和条件的点P的坐标;若没有,请说明理由.

【答案】分析:(1)设抛物线解析式为y=ax2+bx+c,将A、B、C三点坐标代入,列方程组求抛物线解析式;
(2)求直线AC的解析式,确定E点坐标,根据对称性求F点坐标,分别求直线AF,CF的解析式,确定两直线与x轴的交点坐标,判断两个交点关于抛物线对称轴对称即可;
(3)存在.由∠CFE=∠AFE=∠FAP,△AFP与△FDC相似时,顶点A与顶点F对应,根据△AFP∽△FDC,△AFP∽△FCD,两种情况求P点坐标.
解答:(1)解:设抛物线解析式为y=ax2+bx+c,将A、B、C三点坐标代入,得

解得
∴抛物线解析式为y=x2-4x+6;

(2)证明:设直线AC的解析式y=mx+n,
将A、C两点坐标代入,得
解得
∴y=-x+6,
∵y=x2-4x+6=(x-4)2-2,
∴D(4,-2),E(4,4),
∵F与E关于D对称,
∴F(4,-8),则直线AF的解析式为y=-x+6,CF的解析式为y=x-22,
∴直线AF,CF与x轴的交点坐标分别为(,0),(,0),
∵4-=-4,
∴两个交点关于抛物线对称轴x=4对称,
∴∠CFE=∠AFE;

(3)解:存在.
设P(0,d),则AP=|6-d|,AF==2
FD=-2-(-8)=6,CF==
∵∠PAF=∠CFD,
∴点P位于点A的下方,
当△AFP∽△FDC时,=,即=,解得d=(舍去)或-
当△AFP∽△FCD时,=,即=,解得d=-2或14(舍去),
∴P点坐标为(0,-)或(0,-2).
点评:本题考查了二次函数的综合运用.关键是根据已知条件求抛物线解析式,根据抛物线的对称性,相似三角形的知识解题.
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科目:初中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,已知抛物线过点A(-1,0)、B(4,0)、C(
11
5
,-
12
5
)

(1)求抛物线对应的函数关系式及对称轴;
(2)点C′是点C关于抛物线对称轴的对称点,证明直线y=-
4
3
(x+1)
必经过点C′.

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科目:初中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,已知抛物线过点A(0,6),B(2,0),C(7,
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).
(1)求抛物线的解析式;
(2)若D是抛物线的顶点,E是抛物线的对称轴与直线AC的交点,F与E关于D对称,求证:∠CFE=∠AFE;
(3)在y轴上是否存在这样的点P,使△AFP与△FDC相似?若有请求出所有符和条件的点P的坐标;若没有,请说明理由.

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科目:初中数学 来源: 题型:

如图,已知抛物线过点A(-1,0)、B(3,0)、C(0,-3).
(1)求该抛物线的解析式及其顶点的坐标;
(2)若P是抛物线上C、B两点之间的一动点,请连接CP、BP,是否存在点P,使得四边形OBPC的面积最大?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

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科目:初中数学 来源: 题型:

如图,已知抛物线过点A(0,6),B(2,0),C(6,0),直线AB交抛物线的对称轴于点F,直线AC交抛物线对称轴于点E.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求证:点E与点F关于顶点D对称;
(3)在y轴上是否存在这样的点P,使△AFP与△FDC相似?若有,请求出所有合条件的点P的坐标;若没有,请说明理由.

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科目:初中数学 来源:2011-2012学年山东省济南市天桥区九年级中考三模数学试卷(解析版) 题型:解答题

如图,已知抛物线过点A(0,6),B(2,0),C(7,). 若D是抛物线的顶点,E是抛物线的对称轴与直线AC的交点,F与E关于D对称.

(1)求抛物线的解析式;

(2)求证:∠CFE=∠AFE;

(3)在y轴上是否存在这样的点P,使△AFP与△FDC相似,若有,请求出所有合条件的点P的坐标;若没有,请说明理由.

 

 

 

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