Question

2．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，E、G为AC上两点，且AE=CG，△CDG沿直线BC翻折到△CDF，连结AF交BC于Q，
（1）求证：AF⊥BE；
（2）若AE=EG，D为BC中点，求tan∠DAQ．

Answer 1

分析 （1）如图1所示：记AF与BE的交点为O．先依据翻折的性质证明∠BAE=∠FCA=90°，然后依据SAS可证明△BAE≌△ACF，由全等三角形的性质可知∠FAC=∠EBA，接下来依据同角的余角相等和三角形的内角和定理证明∠AOE=90°，从而可得到要证明的结论；
（2）如图2所示：记GF与BC的交点为O，过点F作FH⊥AD，垂足为H．在△ADC和△OCF中依据等腰直角三角形的性质得到CO、OF的长度与AD的长度关系，从而得到AH、HF的长（用含AD的式子表示），最后依据锐角三角函数的定义求解即可．

解答 解：（1）如图1所示：记AF与BE的交点为O．

∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ACB=45°．
∵由翻折的性质可知：∠DCF=∠DCG=45°，CF=GC，
∴∠GCF=90°．
∵FC=AE，CF=GC，
∴AE=CF．
在△BAE和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAE=∠ACF}\\{AE=CF}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△ACF．
∴∠FAC=∠EBA．
∵∠AEB+∠EBA=90°，
∴∠AEB+∠FAC=90°．
∴∠AOE=90°．
∴AF⊥BE．
（2）如图2所示：记GF与BC的交点为O，过点F作FH⊥AD，垂足为H．

∵D是BC的中点，AB=AC，
∴AD⊥CB，∠DAC=∠DAB=45°．
∴AC=$\sqrt{2}$AD，DC=AD．
∵AE=EG=GC，
∴FC=GC=$\frac{\sqrt{2}AD}{3}$．
由翻折的性质可知：GC⊥DC，∠OCF=45°．
∴OC=OF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$FC=$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{3}$AD=$\frac{1}{3}$AD．
∴AH=AD+$\frac{1}{3}$AD=$\frac{4}{3}$AD，FH=DO=CD-CO=AD-$\frac{1}{3}$AD=$\frac{2}{3}$AD．
∴tan∠DAQ=$\frac{HF}{AH}$=$\frac{\frac{2}{3}AD}{\frac{4}{3}AD}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查的是翻折的性质、全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形的性质、锐角三角函数的定义，证得△BAE≌△ACF是解答问题（1）的关键，用含AD的式子表示出AH和HF的长解答问题（2）的关键．