Question

27、我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称正方形、长方形、直角梯形（任选两个均可）；
（2）如图1，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（3，0），B（0，4），请你画出以格点为顶点，OA，OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB；
（3）如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD，DC，∠DCB=30度．求证：DC²+BC²=AC²，即四边形ABCD是勾股四边形．

Answer 1

分析：（1）只要四边形中有一个角是直角，根据勾股定理就有两直角边平方的和等于斜边的平方，即此四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，由此可知，正方形、长方形、直角梯形都是勾股四边形．
（2）OM=AB知以格点为顶点的M共两个：M（3，4）或M（4，3）．
（3）欲证明DC²+BC²=AC²，只需证明∠DCE=90度．

解答：解：（1）正方形、长方形、直角梯形．（任选两个均可）（2分）（填正确一个得1分）

（2）答案如图所示．M（3，4）或M（4，3）．（没有写出不扣分）

（2分）（根据图形给分，一个图形正确得1分）

（3）证明：连接EC，
∵△ABC≌△DBE，（5分）
∴AC=DE，BC=BE，（6分）
∵∠CBE=60°，
∴EC=BC，∠BCE=60°，（7分）
∵∠DCB=30°，
∴∠DCE=90°，
∴DC²+EC²=DE²，（8分）
∴DC²+BC²=AC²．
即四边形ABCD是勾股四边形．（10分）

点评：本题考查勾股定理，及考查旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．