Question

10．如图，正方形ABCD中，E，F是正方形内两点，BE∥DF，EF⊥BE，为探索研究这个图形的特殊性质，某数学学习小组经历力如下过程
初步体验
如图1，连接BD，若BE=DF，求证：EF与BD互相平分
规律探究
（1）如图1中，（BE+DF）²+EF²=2AB²
（2）如图2，若BE≠DF，其他条件不变，（1）中的数量关系是否会发生变化？如果不会，请证明你的结论；如果会发生变化，请说明理由
拓展应用
如图3，若AB=4，∠DPB=135°，$\sqrt{2}$BP+2PD=4$\sqrt{6}$，求PD的长

Answer 1

分析 初步体验：根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得：四边形EBFD是平行四边形，再由平行四边形的对角线互相平分得结论；
规律探究：
（1）如图2，作辅助线，构建矩形GEFD，利用勾股定理列方程并与矩形的对边相等相结合可得结论；
（2）如图3，同理可得结论；
拓展应用：
如图4，类比如图2，构建矩形GEPD，设BE=EG=x，PD=EG=y，则BP=$\sqrt{2}$x由勾股定理得：BG²+DG²=BD²，则（x+y）²+x²=（4$\sqrt{2}$）²，由已知得：$\sqrt{2}$BP+2PD=4$\sqrt{6}$，则2x+2y=4$\sqrt{6}$ ②，解①和②可得结论．

解答 初步体验
证明：如图1，连接ED、BF，
∵BE=DF，BE∥DF，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∴EF与BD互相平分；
规律探究
（1）如图2，过D作DG⊥BE，交BE的延长线于G，
∴∠EGD=∠GEF=∠EFD=90°，
∴四边形GEFD是矩形，
∴EF=GD，EG=DF，
在Rt△BGD中，BG²+DG²=BD²，
∴（BE+EG）²+EF²=BD²，
∵△ABD是等腰直角三角形，
∴BD²=2AB²，
∴（BE+DF）²+EF²=2AB²，
故答案为：2；
（2）不会发生变化，如图3，（BE+DF）²+EF²=2AB²仍然成立，
理由是：过D作DG⊥BE，交BE的延长线于G，
∴∠EGD=∠GEF=∠EFD=90°，
∴四边形GEFD是矩形，
∴EF=GD，EG=DF，
在Rt△BGD中，BG²+DG²=BD²，
∴（BE+EG）²+EF²=BD²，
∵△ABD是等腰直角三角形，
∴BD²=2AB²，
∴（BE+DF）²+EF²=2AB²，
拓展应用
如图4，过P作PE⊥PD，过B作BE⊥PE，过D作DG⊥BE，得矩形GEPD，
∴GD=EP，EG=PD，
设BE=EG=x，PD=EG=y，则BP=$\sqrt{2}$x
∵AB=4，
∴BD=4$\sqrt{2}$，
在Rt△BGD中，由勾股定理得：BG²+DG²=BD²，
∴（x+y）²+x²=（4$\sqrt{2}$）²，
∴2x²+2xy+y²=32 ①，
∵$\sqrt{2}$BP+2PD=4$\sqrt{6}$，
∴2x+2y=4$\sqrt{6}$ ②，
解①和②得：$\left\{\begin{array}{l}{x=2\sqrt{2}}\\{y=2\sqrt{6}-2\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
∴PD=2$\sqrt{6}$-2$\sqrt{2}$．

点评 本题是四边形的综合题，考查了平行四边形和矩形的性质和判定，并根据勾股定理列方程解决问题，本题的关键是作辅助线，构建矩形和直角三角形，并运用了类比的思想，使问题得以解决．