Question

16．如图，矩形ABCD中，BC=2$\sqrt{3}$，∠CAB=30°，E，F分别是AB，CD上的点，且BE=DF=2，连结AF、CE．点P是线段AE上的点，过点P作PH∥CE交AC于点H，设AP=x．
（1）请判断四边形AECF的形状并证明；
（2）用含x的代数式表示AH的长；
（3）请连结HE，则当x为何值时AH=HE成立？

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形的性质和勾股定理求出CA、AB的长，根据菱形的判定定理证明即可；
（2）根据相似三角形的判定定理证明△APH∽△AEC，根据相似三角形的性质得到$\frac{AH}{AC}$=$\frac{AP}{AE}$，计算求出AH；
（3）作HG⊥AB于G，根据锐角三角函数的定义求出AG、HG，根据勾股定理表示出HE，根据题意列出方程，解方程即可．

解答 解：（1）四边形AECF是菱形．
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B=90°，又BC=2$\sqrt{3}$，∠CAB=30°，
∴CA=2BC=4$\sqrt{3}$，AB=6，
∵BE=2，
∴AE=AB-BE=4，CE=$\sqrt{B{E}^{2}+B{C}^{2}}$=4，
∵CF∥AE，CF=AE=2，
∴四边形AECF是平行四边形，又EA=EC=4，
∴四边形AECF是菱形；
（2）∵PH∥CE，
∴△APH∽△AEC，
∴$\frac{AH}{AC}$=$\frac{AP}{AE}$，即$\frac{AH}{4\sqrt{3}}$=$\frac{x}{4}$，
解得，AH=$\sqrt{3}$x；
（3）作HG⊥AB于G，
∵AH=$\sqrt{3}$x，∠CAB=30°，
∴HG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，AG=$\frac{3}{2}$x，
∴GE=AE-AG=4-$\frac{3}{2}$x，
由勾股定理得，HE=$\sqrt{H{G}^{2}+G{E}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{2}x）^{2}+（4-\frac{3}{2}x）^{2}}$=$\sqrt{3{x}^{2}-12x+16}$，
当AH=HE时，$\sqrt{3}$x=$\sqrt{3{x}^{2}-12x+16}$，
解得，x=$\frac{4}{3}$，
则当x=$\frac{4}{3}$时，AH=HE成立．

点评 本题考查的是矩形的性质、菱形的判定、相似三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定，灵活运用相关的性质和定理、根据题意正确作出辅助线是解题的关键，注意方程思想在解题中的应用．